Завдання з математики очних турів олімпіад факультету

1996 рік

1. Три точки в початковий момент часу знаходяться в вершинах правильного трикутника з стороною довжини 1 і одночасно починають рухатися з одиничною швидкістю. В кожний момент перша точка рухається в напрямку поточного положення другої, друга – третьої, а третя – першої. Через який час точки зустрінуться?

2. Яка найбільша кількість гострих кутів може бути в опуклому многокутнику?

3. Чи існує натуральне n, при якому n² + 3n + 5 ділиться на 121? Відповідь обґрунтувати.

4. У розиграші кубка з футболу беруть участь 30 команд. Правильне чи неправильне твердження: “У будь-який момент знайдуться принаймні дві команди, які зіграли однакову кількість матчів”? Відповідь обґрунтувати.

5. Розв’язати нерівність

1997 рік

1. Перевірити твердження: “Якщо у многокутник з непарною кількістю сторін вписано в коло, і всі його кути рівні, то цей многокутник правильний”.

2. Задано попарно різні дійсні числа  a₁ , a₂ , … , a_n. Знайти найменше значення функції 

y = | x – a₁ | + | x – a₂| + … + | x – a_n |.

3. Чи можна число 2n, де n – деяке довільне натуральне число, подати у вигляді суми двох або більше послідовних натуральних чисел?

4. Серед усіх чотирикутників, описаних навколо даного кола, знайти чотирикутник з найменшим периметром.

5. Знайти добуток всіх дільників натурального числа  n, якщо їх загальна кількість дорівнює  S.

1998 рік

1. На дошці записано числа  1, 2, ... , 1998. Дозволяється витерти будь-які два числа і записати замість них їхню різницю. Після багаторазового повторення цієї операції на дошці залишилося одне число. Вказати всі можливі способи витирання, при яких воно дорівнює нулю.

2. Знайти всі розв’язки рівняння  x² – 2 y² = 1  в простих числах x, y.

3. Учитель розставив учнів на прямій стежці. За його сигналом вони біжать в точку стежки, вказану ним, а потім повертаються на свої місця. Після цього вчитель вказує нову точку і т. ін. Перевірити твердження: після кожного повернення на свої місця найбільша відстань пробігається якимось з крайніх учнів (можливо, обома).

4. Із вершини A квадрата ABCD проведена пряма, яка перетинає границю квадрата в точці A₁. Тангенс кута нахилу цієї прямої до сторони    дорівнює k/p, де  k і  p – взаємно прості натуральні числа. Точка A₁ ортогонально проектується в точку A₂ на протилежній стороні квадрата. Із точки A₂ проводиться пряма, яка паралельна AA₁ і перетинає границю квадрата в точці A₃. Точка A₃ ортогонально проектується на протилежну сторону квадрата в точку A₄ і т. ін. (доки це можливо). На скільки частин вказані прямі розбивають квадрат?

1999 рік

1. Довести, що кути між бісектрисами плоских кутів довільного тригранного кута одночасно або гострі, або прямі, або тупі.

2. На площині задана множина з 2n точок, причому пряма, що проходить через будь-які дві її точки, не містить інших її точок. Одну половину точок зафарбовано в один колір, а другу половину – в інший. Чи можна вибрати n відрізків з кінцями в точках даної множини так, щоб вони попарно не перетиналися, а їх кінці були різнокольоровими?

3. На кожному з ребер довільного тетраедра вказано один з двох можливих напрямків. В яких випадках сума отриманих векторів-ребер дорівнює нуль-вектору?

4. Розв’язати рівняння

.

5. Стос документів розділили на n частин і передали на зберігання n особам, у кожної з яких є телефон. Довести, що при n > 3 досить 2n – 4 телефонних розмов, після яких всі особи ознайомилися б зі змістом всіх документів.

2000 рік

1. Чи правильно, що для кожного n ³ 6000 будь-який опуклий 2000-кутник можна розрізати на n чотирикутників, навколо кожного з яких можна описати коло? Відповідь обґрунтувати.

2. Скласти рівняння прямої, що дотикається графіка функції y = х⁴– х²+х у двох точках.

3. Чи завжди можна всі підмножини скінченної множини розташувати в такому порядку, при якому будь-які дві сусідні підмножини відрізняються одним елементом?

4. У крузі кожну точку пофарбовано в один з m кольорів. Довести, що для довільного n ³ 3 існує такий колір і такий нескінченний набір рівних між собою n-кутників, що всі їхні вершини пофарбовано в цей колір.

5. Чи правильно, що в довільному многокутнику знайдуться дві сторони з довжинами a та b такими, що [а / b] = 1? Відповідь обґрунтувати.

2001 рік

1. Розв’язати в додатних числах систему рівнянь

2. Довести, що коли x ³ 1, то виконується нерівність

.

3. Балку довжиною a підвішено горизонтально за кінці на двох паралельних тросах однакової довжини b. Повернімо балку на кут j навколо вертикальної осі, що проходить через середину балки. На скільки підніметься при цьому балка?

4. Визначити найбільшу кількість гострих кутів, що може бути в опуклому многокутнику.

5. Визначити, які п’ятикутники можна розрізати на скінченну кількість паралелограмів.

2002 рік

1. Розв’язати систему рівнянь

tgx₁ + 3ctgx₁ = 2tgx₂,

tgx₂ + 3ctgx₂ = 2tgx₃,

… … … … … …

tgx_n-1 + 3ctgx_n-1 = 2tgx_n,

tgx_n + 3ctgx_n = 2tgx₁

2. Кожну точку простору зафарбовано в один із чотирьох кольорів. Чи завжди знайдуться дві точки одного кольору, відстань між якими дорівнює 1?

3. Натуральні числа x та y отримують одне з одного перестановкою цифр. Перевірити твердження: "Суми цифр чисел 5x та 5y збігаються".

4. Площиною повзуть кілька (не менше трьох) черепах, швидкості яких постійні за величиною і напрямком, всі рівні за величиною, але попарно різні за напрямком. Перевірити твердження: "Незалежно від початкового розташування через деякий час всі черепахи будуть у вершинах деякого опуклого многокутника".

5. Знайти всі дійсні функції f, які визначено на множині дійсних чисел і такі, що для будь-яких x та y виконується рівність

f((x+y)²) = f(x²) + f(y²) + 2xy.

2003 рік

1. Нехай a, b, c – додатні числа. Розв’язати рівняння

.

2. Визначити, чи є число 2003²⁰⁰³(2003²⁰⁰³ + 1) натуральним степенем (більшим 1) якогось натурального числа.

3. Знайти найменше можливе значення виразу

(a + b)(b + c)/(a + 2b + c),

де a, b, c – довільні числа з відрізка [1, 2].

4. Для яких n можна відмітити частину клітинок таблиці n´n так, щоб у кожній з її 2(2n – 1) діагоналей (довжиною від 1 до n клітинок) була непарна кількість відмічених клітинок?

2004 рік

1. Нехай a^–1 + b^–1 + c^–1 = (a + b + c)^–1. Визначити, чи правильно, що для довільного непарного натурального n виконується рівність

a^–n + b^–n + c^–n = (a + b + c)^–n .

2. Вовочка написав шість листів шести різним приятелям і заготував шість конвертів з їхніми адресами. Скількома способами можна вкласти листи в конверти так, щоб жоден лист не потрапив тому приятелю, якому він був написаний?

3. Вказати всі значення n, для яких існує многогранник з n ребрами.

4. Довести, що будь-який многокутник з периметром 2a можна накрити кругом діаметра a.

2005 рік

1. Перегони. На площині задано трикутник із цілочисельними координатами A(1,1), B(16, 26), C(38, 81). На сторонах трикутника в усіх точках з цілочисельними координатами розташовано міста. Автомобілі АЛЬФА і БЕТА виїжджають з А і повинні повернутися до А подолавши шлях АВС. При виїзді з кожного міста необхідно сплатити мито – 5 монет. Водій АЛЬФА, стартуючи, має 90 монет, водій БЕТА має 80 монет. Чи можуть автомобілі подолати весь шлях і повернутися до А? Відповідь обґрунтуйте.

2. Медіанта. Медіантою двох дробів а/b і с/d називають дріб (a + c) / (b + d). Дріб 1/0 розглядається як умовний дріб. Його значенням можна вважати нескінченність.

Розглянемо таку процедуру побудови послідовності раціональних чисел. Починаємо з двох дробів 0/1, 1/0. На кожному кроці в утворену раніше послідовність дробів додаються медіанти двох сусідніх дробів, які вставляються між цими дробами. Побудова таких послідовностей продовжується нескінченно довго.

Для пояснення. Перші три кроки побудови мають такий вигляд:

0/1, 1/0 (початок);

0/1, 1/1, 1/0 (перший крок);

0/1, 1/2, 1/1, 2/1, 1/0 (другий крок);

0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1, 3/2, 2/1, 3/1, 1/0 (третій крок).

Довести, що

2.1. На кожному кроці побудова дає впорядковану за зростанням послідовність дробів.

2.2. Медіанти, що вставляються, утворюють нескоротний дріб.

2.3. Кожний нескоротний дріб m/n рано чи пізно попадає в побудовану на деякому кроці послідовність.

3. Через точку всередині трикутника провести відрізок з кінцями на сторонах трикутника так, щоб задана точка ділила відрізок навпіл.

4. Визначити, при яких значеннях параметра а рівняння

має єдиний розвязок.

5. Обчислити лишок:

5.1 від ділення числа на 11;

5.2 від ділення числа на 11;

5.3 від ділення числа на 11.

2006 рік

1. Позначимо через a_n кут з інтервалу (0; ), тангенс якого дорівнює n. Довести, що:

sin(a₁ – a₁₀₀₀) + sin(a₂ – a₁₀₀₀) +…+ sin(a₂₀₀₀ – a₁₀₀₀) = sina₁₀₀₀

2. Розв’язати рівняння: , де p – параметр.

3. Доведіть, що існують ірраціональні числа a та b такі, що число – раціональне.

4. 75 політиків зібрались на диспут за круглим столом. Кожен із них або завжди бреше, або завжди каже правду. Відомо, що із двох сусідів кожного брехуна рівно один є брехуном. На прес-конференції після диспуту 36 політиків сказали, що рівно один із їхніх сусідів є брехуном, а решту 39 політиків сказали, що обидва їхні сусіди – брехуни. Скільки правдивців та скільки брехунів зібрались на диспут ?

5. В просторі довільним чином відмічено 316 точок. Доведіть, що серед них обов’язково знайдуться дві точки, відстань між якими більша за 4, або дві точки, відстань між якими менша за 1.

6. Яка мінімальна довжина рядка, що складається із символів 0 або 1, який в якості підрядка має входження любого рядка довжини k. Підрядком називається довільна послідовність символів, що знаходяться поруч. Вкажіть алгоритм побудови такого рядка.

2007 рік

1. Відомо, що ціле число n є добутком двох простих чисел, n = p q,
де p і q прості множники. Функція Ейлера φ(n) = (p - 1)(q - 1).
Як по відомим значенням n та φ (n) = a знайти p і q ?

2. У Петі є монети вартістю 3 и 5 копійок. Кількість 3-ьох копійчаних монет 3000, кількість 5-ти копійчаних монет 2000.

Скількома способами він може купити видеокарту вартістю 100 гривень?

3. В чотирикутнику, в який вписане коло, відомі довжини двох сусідніх сторін a і b та його периметр p.

Обчислити максимально можливе значення радіусу вписаного кола.

4. Доведіть, що для кожного n існує коло, в середині якого лежить рівно n точок з цілочисельними координатами.

5. Чи можливо розбити всі натуральні числа на дві множини таким чином, щоб ні одна з цих множин не містила ні однієї безкінечної цілочисельної арифметичної прогресії.

Вкажіть алгоритм побудови перших n чисел ціх множин.

6. Доказати, що в числі (6 +)999 перші 999 знаків після коми нулі.