Завдання з математики заочних турів олімпіад факультету

 

 

1996 рік

 

1. Дійсні числа x, y, a такі, що

.

При якому значенні a добуток  xy набуває найменшого значення?

2. Довести нерівність

При яких значеннях x і y досягається рівність?

3. Довести нерівність 

4. Побудувати трикутник, якщо відомі a, A, r.

5. Чи є періодичними функції

, ,

де a – ірраціональне число? Відповідь обгрунтувати.

6. Довести, що параболи

 та

перетинаються у чотирьох точках, які лежать на одному колі. Знайти координати центра і радіус цього кола.

7. Зобразити на координатній площині множину точок (x, y), координати яких задовольняють нерівність

8. Знайти область значень функцій

    a)

    б)

9. Розв’язати рівняння

    a)

    б)

    в) .

10. Розв’язати нерівність  де [a] – ціла частина числа a, тобто найбільше ціле число, яке не перевищує a.

11. Знайти усі значення параметра a, при яких рівняння

має три різні цілі корені. Знайти ці корені.

12. Розв’язати систему рівнянь

13. Розв’язати нерівність  

        

14. Довести, що при будь-якому простому  число  ділиться на 24.

15. Через діагональ куба, ребро якого дорівнює a, провести площину так, щоб площа перерізу цієї площини з кубом була найменшою (найбільшою). Знайти цю площу.

16. Довести, що площі опуклих чотирикутників, у яких середини сторін збігаються, однакові.

 

 

1997 рік

 

1. Довести, що число  ціле і знайти його.

2. Довести, що для всіх дійсних чисел a і b  виконується нерівність

.

Для яких значень a і b досягається рівність?

3. Скільки розв’язків в залежності від параметра a мають рівняння:

    a) ;

    б) .

4. При яких значеннях параметра a нерівність

виконується для усіх дійсних значень x?

5. Розв’язати рівняння

         .

6. Побудувати графіки функцій:

     а) ;

     б) ;

     в)

7. Знайти найбільше та найменше значення функції .

8. Розв’язати систему рівнянь:

         .

9. Розв’язати рівняння:

     a) ;

     б) .

10. Дослідити, чи має рівняння  дійсні розв’язки. Відповідь обгрунтувати.

11. Розв’язати нерівності:

     а) ;

     б) .

12. Довести, що навколо чотирикутника ABCD можна описати коло тоді і тільки тоді, коли , де O – точка перетину діагоналей чотирикутника.

13. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника точкою перетину діляться на відрізки, відношення яких, рахуючи від вершин, дорівнює . Знайти кути такого трикутника.

14. Побудувати трикутник за бічними сторонами та різницею кутів при основі.

15. Грані призми – ромби зі стороною a та гострим кутом . Знайти об’єм призми.

16. Ребро куба дорівнює a. Знайти віддаль між діагоналлю куба і мимобіжною з нею діагоналлю грані куба.

 

 

1998 рік

 

1. Нехай a < b < c . Довести, що рівняння  має рівно два корені x1 і x2, які задовольняють нерівності a < x1 < b < x2 < c.

2. Чи можна в коло, у якого принаймні одна із координат центру є ірраціональним числом, вписати трикутник, у якого всі координати вершин є раціональними числами? Відповідь обгрунтувати.

3. При яких значеннях параметра a система рівнянь

          

має лише один розв’язок? Знайти цей розв’язок.

4. Розв’язати рівняння

         .

5. Розв’язати нерівність

         .

6. Розв’язати рівняння

    а) ,            б) ,

де  – ціла частина числа x, тобто найбільше ціле число, яке не перевищує x.

7. Побудувати графік функції . Дослідити, скільки розв’язків має рівняння  в залежності від параметра a:

    а) ;

    б) ; в) ,

де  – ціла частина числа x.

8. Парною чи непарною є функція

         ?  

Відповідь обгрунтувати.

9. Розв’язати рівняння:

         а) ;

         б) .

10. а) Довести, що для кутів  непрямокутного трикутника виконується рівність .

     б) Довести нерівність .

11. Довести, що при будь якому значенні параметра a рівняння

          

не може мати п’ять цілих коренів.

12. У даний гострокутний трикутник вписати трикутник найменшого периметра.

13. Побудувати трикутник за .

14. У трикутнику ABC проведені бісектриси AA1, BB1, CC1. Відомо, що . Знайти кути такого трикутника.

15. У просторі задані три рівні відрізки. Довести, що існує така площина, що проекції даних відрізків на цю площину рівні між собою.

16. Усі плоскі кути при вершині D трикутної піраміди ABCD прямі. В піраміду вписано куб так, що одна з його вершин співпадає з вершиною D піраміди, а протилежна їй вершина належить грані ABC . Обчислити довжину ребра куба, якщо DA = a, DB = b, DC = c.

 

 

1999 рік

 

1. Знайти співвідношення між коефіцієнтами a, b, c (a ¹ 0, b ¹ 0, c ¹ 0), при виконанні яких система рівнянь

        

має розв’язки. Знайти ці розв’язки.

2. Розв’язати рівняння:

      а)

      б)

      в)

3. Розв’язати рівняння

         ,

де [a] – ціла частина числа a, тобто найбільше ціле число, що не перевищує a.

4. Зобразити на координатній площині xOy множину точок, координати яких задовольняють співвідношення:

      а)

      б)

5. При яких значеннях параметра a рівняння

          

має лише один розв’язок? Знайти його.

6. При яких значеннях параметра a система рівнянь

        

має лише один розв’язок? Знайти цей розв’язок.

7. Розв’язати нерівності:

      а)  де  

      б)

      в)  де

8.   а) Знайти найбільше та найменше значення функції

        

      б) Знайти найбільше значення функції

9. Чи є періодичною функція ? Відповідь обґрунтувати.

10. Довести, що всі дотичні до гіперболи  відтинають від координатних осей трикутники однакової площі.

11. Довести, що трикутник з кутами a, b, g буде прямокутним тоді і тільки тоді, коли  .

12. В коло вписано трапецію, основою якої є діаметр кола, і рівнобедрений трикутник, сторони якого паралельні сторонам трапеції. Довести, що площі трапеції і трикутника рівні між собою.

13. Побудувати паралелограм, якщо відомо відношення його діагоналей, кут між діагоналями і висота.

14. Для того, щоб в опуклий чотирикутник можна було вписати коло, необхідно і достатньо, щоб суми довжин протилежних сторін такого чотирикутника були рівні. Довести це.

15. Знайти найбільшу площу перерізу трикутної піраміди ABCD площиною, яка паралельна ребрам BC і AD, якщо BC = a, AB = c, AD = b, а кут між ребрами AD і BC дорівнює a.

 

 

2000 рік

 

1. Пасажир метро спускається вниз по рухомому ескалатору за 24 секунди, а по нерухомому – за 42 секунди. За скільки секунд пасажир спуститься вниз, стоячи на рухомому ескалаторі?

2. Довести, що при будь-якому натуральному число n число 10n + 18n – 1 ділиться на 27.

3. Довести, що квадратне рівняння ax2 + bx + c = 0, коефіцієнти якого задовольняють нерівність (a + b + c) c < 0, має два різні дійсні корені.

4. Чи може дискримінант квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0 з цілими коефіцієнтами a, b, c дорівнювати 1999? Відповідь обгрунтувати.

5. Розв’язати нерівності:

    а) 4x / ( x2 + x + 3 ) + 5x / ( x2 - 5x + 3 ) £ – 3/2;

     б) .

6. Скільки розв’язків в залежності від параметра a має система рівнянь

         ?

7. При яких значеннях параметра a рівняння

        

має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

8. Знайти всі значення параметра a, при яких найменше значення функції
y = x2 – ax – 1 на відрізку [0, 1] дорівнює найбільшому значенню цієї функції на відрізку [1, 2].

9. Побудувати графіки функцій:

         а) y = logx-2 (– x2 + 7x – 10);

         б) y = f (x) – g (x),

                   де f (x) = – x + 2, якщо | x | ³ 2;      x – 2, якщо | x |< 2,

                   g (x) = – x + 4, якщо x < – 2;  – | x |, якщо x ³ – 2.

10. Чи є періодичними такі функції:

     а) f (x) = sin x2;

     б) f (x) = sin (1 / x);

     в) f (x) = sin 2x + sin 8x?

Відповідь обгрунтувати.

11. Розв’язати рівняння

         tg x – sin 2x = cos [ x + p/4 ] – ctg x.

12. Довести, що з медіан будь-якого трикутника ABC можна побудувати (скласти) трикутник. Чому дорівнює площа такого трикутника, якщо площа трикутника ABC дорівнює S?

13. Чи може обмежена за розмірами геометрична фігура мати більше одного центру симетрії? Відповідь обгрунтувати.

14. Довести, що коли тангенси половинних кутів трикутника утворюють арифметичну прогресію, то косинуси цих кутів також утворюють арифметичну прогресію.

15. Довести, що висоти трикутної піраміди перетинаються в одній точці тоді і тільки тоді, коли:

     1) вони проходять через точки перетину висот протилежних граней;

     2) протилежні ребра піраміди попарно перпендикулярні.

16. Довести, що кожна площина, яка проходить через середини двох протилежних ребер трикутної піраміди, розділяє її на дві рівновеликі частини (ділить її об’єм навпіл).

 

 

2001 рік

 

1. Відстань від пункту A до пункту B пліт пропливає за 24 години. Щоб подолати цей шлях і повернутися назад, катеру потрібно витратити не менше 10 годин. Якщо ж власну швидкість катера збільшити на 40%, то на подолання шляху із пункту A в пункт B і повернення назад йому потрібно затратити не більше 7 годин. За скільки годин пропливе катер шлях з пункту A в пункт B і за скільки годин пропливе він шлях із пункту B в пункт A?

2. У многочлена  усі коефіцієнти  є цілими числами. Числа  і  є непарними. Довести, що такий многочлен не має цілих коренів.

3. Коефіцієнти двох квадратних рівнянь  та  задовольняють умову . Відомо, що одне з цих квадратних рівнянь не має дійсних коренів. Чи може мати дійсні корені друге квадратне рівняння? Відповідь обгрунтувати.

4. Чи існують такі цілі числа , що справджується рівність

         ?

5. Довести, що при будь-якому натуральному n число  ділиться на 120.

6. При яких значеннях x та y вираз

        

набуває найбільшого значення? Знайти це значення.

7. При яких значеннях параметра  система нерівностей

        

має лише один розв’язок? Знайти його.

8. Зобразити на координатній площині хOу фігуру, яка задається рівнянням . Знайти площу і периметр цієї фігури. Скільки розв’язків в залежності від параметра a має система рівнянь  ?

9. Побудувати графіки функцій:

    а) ;

    б) ;

    в) ;       

    г) ,

де використовуються позначення

     ,

     ,

а символом [x] позначене найбільше ціле число, яке не перевищує x.

10. При яких значеннях параметра a нерівність

          

виконується одночасно при x = 1 і x = 3 ?

11. Розв’язати нерівності:

    а) ;

    б) .

12. Розв’язати рівняння:

         .

13. При яких значеннях параметра a рівняння  має лише один розв’язок? Знайти цей розв’язок.

14. Для того щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб сума довжин відрізків, які сполучають середини його протилежних сторін, дорівнювала половині периметра цього чотирикутника. Довести це.

15. Знайти всі прямокутні трикутники, довжини сторін яких утворюють арифметичну прогресію. Знайти кути таких трикутників.

16. Площа бічної грані правильної шестикутної піраміди дорівнює S. Знайти площу перерізу, який паралельний бічній грані піраміди і проходить через центр основи піраміди.

17. Трикутна піраміда, усі грані якої є рівні між собою трикутники, називає­ться рівногранною трикутною пірамідою. Довести, що трикутна піраміда буде рівногранною тоді і тільки тоді, коли справджується одна з таких умов:

    а) усі її грані рівновеликі;

    б) усі її висоти рівні.

 

 

 

 

 

2002 рік

 

1. Знайти всі значення k, для яких обидва корені рівняння х2 – (k + 1)х + 3k = 0 є цілими числами.

2. Розв’язати рівняння

         cos (p log2(x – 4 ))×cos (p log2(x – 1 )) = 1.

3. Знайти всі цілі числа х , для яких число 3×2х + 1 є квадратом цілого числа.

4. З усіх квадратних тричленів f(x) = ax2 + bx + c , таких що f(1) = 5, f(5) = 1, знайти той, для якого число ça ê+ êb ê+ êc ê- найменшим.

5. Знайти всі значення параметра а, при яких функція

         у = 8ах – а sin6x – 7x – sin5x

зростає на проміжку (– ∞ ; + ∞) .

6. При яких а існує рівно чотири значення х на проміжку [ 3p/2 ; 2p], для яких

         sin2 4x + (a2 – 3 )sin 4x + a2 – 4 = 0 ?

7. На координатній площині xОy зобразити множину точок, для яких                2y – 1 – ½y – 3 ½+ ½x + 1½= 0 . Довести, що ця множина є графіком деякої функції y = f (x), знайти область визначення і множину значень цієї функції. При якому значенні параметра а функція y = f (x + a) буде парною ?

8. Розв’язати нерівність

         log2 (6 – x ) £ 2x – 1 .

9. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = х – 3 та y = 1– (8 + 2x – x2)½

10. Довести що в правильній 5-кутній піраміді для кожного її ребра існує інше ребро, перпендикулярне до даного.

11. Площа трикутника, вершинами якого є основи висот гострокутного трикутника АВС в чотири рази менша від його площі. Довести, що трикутник АВС – рівнобічний.

12. Скільки коренів має рівняння

    а) 16×2 -|x| sin(px) = 1 ?

    б) х5 – 2х3 = а – х ?

13. Нехай О – точка перетину відрізків, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника ABCD. Довести, що

        

14. Скільки існує п’ятицифрових чисел, всі цифри яких різні ?

15. На площині проведено n кіл так, що кожні два з них перетинаються і жодні три не мають спільної точки. На скільки частин ділять площину ці кола ?

16. Знайти найбільший член послідовності аn , якщо

    а) аn = (12 - | 7 – n | )×cos pn ;

    б) аn = 10n2 – n3 .

17. Висота конуса дорівнює h, а його твірні нахилені до площини основи під кутом a. Перпендикулярна до висоти конуса площина ділить повну поверхню конуса навпіл. Знайти відстань від цієї площини до площини основи конуса.

 

 

2003 рік

 

1. Є декілька блакитних квадратів, сумарна площа яких дорівнює S. Ці квадрати накладають на жовтий квадрат площею 1 так, щоб сторони блакитних квадратів були паралельні сторонам жовтого квадрату. Чи можна повністю закрити жовтий квадрат незалежно від розміру окремих блакитних квадратів. Розглянути випадки: 

    а) S = 4;           б) S = 3;               в) S = 2,9.

2. На клітинки шахової дошки розміром  ставляться фішки. Яку найменшу кількість фішок треба поставити, щоб на кожній прямій, яка проходить через центр будь-якої клітинки шахової дошки паралельно вертикалі, горизонталі чи діагоналі дошки, стояла принаймні одна фішка?

3. На площині задано n попарно непаралельних прямих. Через кожну точку перетину двох з цих прямих обов’язково проходить ще якась третя. Довести, що усі n прямих перетинаються в одній точці.

4. Знайти всі натуральні m, для яких виконується рівність , де через n! (n-факторіал) для натурального n позначений добуток .

5. Чи можна розрізати квадрат на 8 гострокутних трикутників?

6. Знайти параметри  що задовольняють умовам:

    а) корені  рівняння  задовольняють нерівностям ;

    б) парабола  проходить через точку (1, –5);

    в) площа трикутника ABC приймає найменше можливе значення. Вершина трикутника A має координати , вершина В – , а вершина С є вершиною параболи .

7. Для кожного значення параметра a розв’язати систему рівнянь:

        

8. Побудувати геометричне місце точок , для яких існує тупокутний трикутник зі сторонами .

9. В одиничне коло вписано опуклий п’ятикутник, який складається з прямокутника із сторонами a і b та рівнобедреного трикутника з основою a. Серед усіх таких п’ятикутників знайти п’ятикутник найбільшої площі.

10. При яких значеннях параметра p рівняння

має єдиний розв’язок?

 

 

 

2004 рік

1. Не використовуючи таблиці, з’ясувати знак виразу

         4earcsin(1/6) – 3earcsin(1/9) – earcsin(1/3).

2. В трикутнику PQL проведено середню лінію АВ, що з’єднує сторони PQ та QL. Довжина сторони PL дорівнює , sinÐPLQ = 1/3. Знайти радіус кола, що проходить через точки B, L та дотикається сторони PQ в точці А.

3. При яких значеннях параметра а рівняння  cos (2p/(|x| + 2a)) = 1

    а) не має розв’язків,

    б) має безліч розв’язків,

    в) має п’ять розв’язків?

4. Знайти всі значення параметра k, при кожному з яких принаймні для одного значення b рівняння

                   |x2 – 1| + kx = |x2 – 8x + 15| + b

має:        а) більше п’яти коренів,         б) п’ять коренів.

5. Довести, що для чисел x, y, z відрізка [0, 1] виконується нерівність

6. Для заданих чисел A, B, C, D будуємо нові чотири числа A1 = |A – B|,
B1 = |B – C|, C1 = |C – D|, D1 = |D – A|. Після цього з чисел A1, B1, C1, D1  утворюємо за аналогічним правилом нові чотири числа A2, B2, C2, D2 і т. д. до нескінченності. Чи завжди після скінченної кількості кроків отримаємо чотири нулі, якщо

    а)  – довільні додатні раціональні числа;

    б)  – довільні додатні дійсні числа?

7. Функція f визначена на проміжку [1; 5] та має на ньому похідну. Довести, що існує значення xÎ[1; 5], для якого

8. Розв’язати в натуральних числах рівняння  x2y + (x+1)2y = (x+2)2y.

9. Розглянемо множину рівнобедрених трикутників, основи яких лежать на заданій прямій  одна з вершин основи розташована в заданій точці  та радіус вписаних кіл яких дорівнює заданій величині  Доведіть, що усі бічні сторони цих трикутників, що не проходять через точку  дотикаються до одного з двох кіл.

10. Чи завжди серед шістнадцяти точок у просторі можна вибрати чотири точки такі, що усі шість попарних відстаней між ними мають різні значення?

 

 

2005 рік

1. Знайти квадрат цілого числа, який містить шість цифр, з яких збігаються перша й друга, третя й четверта, п’ята й шоста цифри. Знайти всі розв’язки задачі.

2. При яких цілих n многочлен  буде ділитися на 343?

3. Чи можна зобразити многочлен  де ai, i = 1, 2, 3, 4 – попарно різні цілі числа, у вигляді добутку двох многочленів менших степенів з цілими коефіцієнтами?

4. В архіві знайшли табличку чемпіонату міста з футболу, але вона майже вся була зіпсована. Було відомо лише те, що кілька команд зіграли в одне коло (кожна команда зіграла з кожною іншою по одному разу), крім того, команда, що зайняла перше місце, забила 1 гол, команда, що зайняла друге місце, забила 2 голи, і так далі до останнього місця. При якій мінімальній кількості команд таке можливо, якщо в той час у футболі за перемогу присуджували 2 очка, за нічию – 1 очко, за поразку очок не нараховували. Команда займає місце тим вище, чим більше в неї очок; якщо у двох і більше команд очок порівну, то більш високе місце одержує команда, в якої більша різниця забитих і пропущених м’ячів, у випадку рівності й цих показників вище місце займає команда, в якої більше забито голів.

5. На дошці намальовано трикутник АВС. Висота АН й бісектриса АL цього трикутника перетинають вписане в трикутник коло в точках М, N і Р, Q відповідно. Після цього весь малюнок витерли, залишивши тільки точки H, M, Q. Відновити трикутник АВС. Знайти принаймні один розв’язок.

6. Розв’язати систему рівнянь

        

7. При всіх значеннях параметра a розв’язати систему нерівностей

        

8. Два кола радіусів R і r (R > r) дотикаються зовні одне одного. Пряма L перетинає більше коло в точках А, В, менше коло в точках С, D (точки А, В, С, D розташовані поспіль на прямій L). Відомо, що DC = 4a, CB = a, BA = 2a. Виразити a через R і r.

9. Знайти суму

10. Знайти рівняння бісектриси тупого кута між прямими, що задані рівняннями x – 3y + 5 = 0,    3x – y + 15 = 0. 

 

2006 рік

Група „А”

 

1. Розв’язати рівняння в цілих числах:

.

 

2. На основі  рівнобедреного  взяли точку . Півколо з діаметром  та центром в точці  дотикається сторони  та перетинає сторону  в точці . Знайти довжину бісектриси  трикутника , якщо  і .

 

3. Знайти найменшу можливу сторону правильного трикутника, всередині якого можна розмістити п’ять однакових трикутників зі стороною  таким чином, щоб вони не мали спільних внутрішніх точок.

 

4. Знайти усі натуральні , при якому для всіх дійсних чисел  має місце рівність:

.

 

5. Нехай  довільні дійсні числа такі, що  . Довести нерівність: .

 

6. При усіх значення параметру  розв’язати систему нерівностей:

.

 

7. Знайти усі значення параметра , при яких наведена система рівнянь має рівно 3 розв’язки:

.

 

8. На декартовій площині відмітили точки , , а також коло, що задається рівнянням . Знайти на цьому колі точку , для якої кут  мінімальний.

 

9. Знайти найменше натуральне число, що починається з цифри  і яке стає в  рази менше, якщо цю цифру переставити в кінець числа, не змінюючи порядок інших цифр.

 

10. На ребрах правильної чотирикутної піраміди  з вершиною в точці  задані точки , ,  так, що , , . Площина  перетинає ребро  в точці . Знайти відношення

 

 

Група „В”

 

1. Точки перетину.

 

Є дві паралельні прямі лінії. На першій з них вибрано a точок, а на другій b – точок. Будь-які дві точки з різних прямих з’єднані відрізком. Точки на прямих вибрані так, що кількість точок перетину утворених відрізків щонайбільша. Обчислити цю кількість. На вході задається два числа a та b (0 £ a £ 20000, 0 £ b £ 20000).

 

 

2. Діагональ.

 

Кількість діагоналей у опуклого n-кутника не меше N. Чому дорівнює найменше можливе значення n? На вході задається ціле число N (N £ 1015) – кількість проведених діагоналей,  а вивести треба кількість кутів n-кутника.

 

3. Просте число.

 

По заданому натуральному числу n знайти максимальний степінь числа m (не обов’язково простого) x, при якому mx  ділить n!. На вході задаються числа m та n, x виводиться.

 

4. Пошук.

 

У кімнаті є n дверей. Якщо відкрити двері з номером i, то або через xi годин ви попадете в безпечне місце, або через xi годин знову повернетесь в цю ж кімнату. Обчислити очікуваний час P (в годинах), через який можна вибратися з кімнати в безпечне місце. На вході задається число дверей n (1 < n < 100), а далі -- n пар чисел xi, 0 < | xi | < 25 (якщо додатнє – то це час, за який можна попасти в безпечне місце, якщо ж від’ємне – то це час, через який ви знову попадете в кімнату) та pi – ймовірність відкрити i – ті двері. Сума всіх pi дорівнює 1. Вивести необхідно Р – час виходу в безпечне місце, або повідомлення, що це зробити неможливо.

 

 

2007 рік

Задачі групи «А»

 

1. На декартовій площині задано трикутник , вершини якого мають такі координати: ,  та . Знайти всередині чи на межі цього трикутника такі точки , сума відстаней від якої до трьох прямих, на яких розташовані сторони трикутника

а) максимальна;                     б) мінімальна.

 

2. Знайти усі значення параметра , при яких система рівнянь має рівно 3 розв’язки:

.

 

3. Порівняти числа:  та .

 

4. В трикутнику  відомі сторона  та кут . В яких межах може змінюватися медіана  цього трикутника?

 

5. На базу в декількох однакових контейнерах привезли однакові телевізори. Ними повністю заповнили 6 однакових Камазів та 5 однакових Зілів, при цьому ще 12 телевізорів не влізло в жодну з машин. Наступного дня іншу кількість подібних контейнерів перевантажили в 18 Камазів та 20 Зілів, не вліз 1 телевізор. На третій день заповнили 9 Камазів та 5 Зілів, та ще 5 телевізорів не влізли. Скільки телевізорів поміщалося в один контейнер?

 

6. Довести, що для будь-якого трикутника , зі сторонами  та площею  виконується нерівність: 4. Для яких трикутників має місце рівність?

 

7. Знайти найменше натуральне число, яке зменшується в 7 разів, якщо його першу цифру переставити в кінець числа.

 

8. Для додатних чисел  довести нерівність

.

 

9. Гравець ходить конем по шахівниці . Поле, на якому кінь вже побував вважається зайнятим. Ставати ще раз на зайняте поле неможна. Гра вважається завершеною, якщо більше неможна піти конем на незайняте поле. Гравець намагається закінчити гру якнайшвидше. Через скільки ходів щонайменше і щонайбільше може закінчитись гра? Початкове поле вважається зайнятим.

 

10. На площині задано 20 точок загального положення, тобто ніякі три точки не лежать на одній прямій. Яке максимальне число опуклих чотирикутників, що попарно не перетинаються, можна побудувати з вершинами в заданих точках при їх довільному розташуванні на площині?

 

 

Задачі групи «Б»

 

Для кожної запропонованої задачі необхідно написати алгоритм з обґрунтуванням коректності розв’язку та програмну реалізацію на С або Паскалі. Дозволяється застосовувати лише власноруч написані підпрограми. Дискету з програмною реалізацією надсилати не треба.

 

1. Послідовність чисел. Є масив рядків, відсортований лексикографічно. Кожний рядок в масиві містить лише цифри, тобто його можна трактувати як число. Числа в кожному рядку не більші за 2*109. Відсортувати рядки масиву як числа по зростанню.

 

Приклад входу

Приклад виходу

{"1","174","23","578","71","9"}

{"1", "9", "23", "71", "174", "578"}

{"172","172","172","23","23"}

{"23", "23", "172", "172", "172"}

 

2. K - ий елемент. Позначимо через F(n) функцію, яка обчислює кількість одиниць в бінарному представленні числа n. Наприклад, F(279) = 5, оскільки 279 = (100010111)2. Послідовність Х будується наступним чином: X0 = 0, Xi = A * F(Xi-1) + B. За заданими A, B, K знайти K - ий елемент послідовності Х. Відомо, що 0 £ A, B £ 106, 1 £ K £ 109.

 

Приклад входу

Приклад виходу

A

B

K

0

12

5

12

15

21

500000001

51

 

3. Стрічка. Стрічка довжини n складається з чорних та білих квадратів одиничного розміру. Стрічка кодується послідовністю чисел – кількістю чорних клітин, що стоять поруч зліва направо.

Наприклад, наведена вище стрічка має код 2, 3, 2, 8, 1. При цьому не враховується кількість білих клітин, якими розділяються чорні клітини. Вказаному коду задовольняє і така стрічка:

За довжиною стрічки n та її коду знайти кількість різних стрічок, що задовольняють цьому коду. Відомо, що 1 £ n £ 200, код має довжину g (0 £ g £ (n + 1) / 2) і сам код складається з g натуральних чисел.

 

Приклад входу

Приклад виходу

n

g

код

 

4

0

{}

1

5

2

{1, 2}

3

 

4. Гармонійні трійки. Трійка чисел (a, b, c) називається гармонійною, якщо виконується одна із наступних умов:

1. НСД(a, b) = 1, НСД(b, c) = 1, НСД(a, c) = 1

2. НСД(a, b) > 1, НСД(b, c) > 1, НСД(a, c) > 1

Під НСД(a, b) розуміється найбільший спільний дільник чисел a та b. Наприклад, трійка (2, 3, 4) не є гармонійною, а трійки (3, 4, 5) та (6, 8, 10) є гармонійними.

За заданим натуральним n (1 < n < 666666) знайти кількість гармонійних трійок (a, b, c), для яких a < b < c та 2 £ a, b, c £ n.

 

Приклад входу

Приклад виходу

4

0

31

1891

 

5. Думки навпаки. На площині розташовано m еліпсів, n кіл та p трикутників таким чином, що вони ділять її на максимально можливу кількість частин s. За заданим значенням s вивести усі такі можливі трійки чисел m, n, p, відсортувавши їх спочатку по m, а потім по n. Відомо, що 0 £ m, p < 100, 0 £ n < 20000. Якщо для вхідного s жодної трійки (m, n, p) не існує, то вивести Impossible.

 

Приклад входу

Приклад виходу

20

0 0 3

0 1 2

1 0 2

1 3 0

10

Impossible

 

 

 

2008 рік

Задачі групи «А»

 

1.     Продовжить послідовність чисел одним числом: 1, 10, 12, 21, 100, 102, 111, ... Відповідь обґрунтуйте.

2.     Розглянемо гострокутний  і точку , що лежить на стороні . Позначимо  – точки перетину висот  та . Для яких точок  трикутники  і  будуть подібними.

3.     Дорога між містами А і Б  спочатку йде з гори, а потім ще половину цієї відстані в гору. В гору мотоцикліст їхав з постійною швидкістю від 30 до 40 км/год, а з гори вдвічі швидше ніж в гору. Коли він проїхав весь шлях, то виявилось, що на перші 100 км шляху він витратив на 1 годину менше, ніж на останні 100 км. Скільки часу тривала його подорож від А до Б?

4.     Плем’я людожерів узяло у полон красуню білявку. Відпустити її чи з’їсти має вирішити зібрання 100 старійшин, які дуже полюбляють банани. «Доброму» вождю людожерів білявка дуже сподобалась і він хоче прийняття зборами рішення про її звільнення, але «зла» дружина вождя проти цього. При вирішенні долі білявки кожен старійшина віддасть свій голос за ту пропозицію, за яку одержить більше бананів. Якщо старійшина одержує однакову кількість бананів від протилежних сторін, то при голосуванні він утримується. Щоб будь-яке рішення було прийняте необхідно, щоб «ЗА» проголосував  принаймні 51 старійшина. Вождь знає, що дружина може роздати старійшинам не більше 1000 бананів. Яку мінімальну кількість бананів і по скільки повинен роздати вождь, щоб гарантувати прийняття рішення на свою користь, не зважаючи на те, у який спосіб роздасть банани його дружина.

5.     Розв’язати рівняння: .

6.     Розв’язати систему рівнянь: .

7.     З точки  кола проведені три хорди , ,  таким чином, що . Знайти радіус кола.

8.     При яких значеннях параметру  рівняння  має не більше двох розв’язків на проміжку ?

9.     У трикутника  задані сторона  та . В яких межах може змінюватися висота  цього трикутника?

10.                       У трикутника  точка , точки  мають однакову абсцису , при цьому точка  розташована на графіку функції , а точка  – на графіку . При якому значенні параметру  площа трикутника  буде а) найбільшою; б) найменшою?

 

 

 

Задачі групи В.

 

1. Сортуюча машина. Є машина для сортування цілих чисел. Вона має лише одну команду MOVE з одним аргументом. Ця команда переносить число, задане в аргументі, в кінець послідовності. Наприклад, для сортування масиву чисел {19, 7, 8, 25} у зростаючому порядку слід виконати дві команди:

1. MOVE 19, отримаємо {7, 8, 25, 19}.

2. MOVE 25, отримаємо {7, 8, 19, 25}.

Вхід. Масив чисел a.

Вихід. Найменша кількість команд MOVE, необхідних для сортування масиву а за зростанням.

Обмеження: -1000 ≤ a[i] ≤ 1000.

Вхід

Вихід

a

 

{19,7,8,25}

2

{1,2,3,4,5}

0

{1,3,4,5,6,7,8,9,2}

7

 

2. Загублені дужки. Є арифметичний вираз, що містить додатні числа, знаки ‘+’, ‘-‘ та дужки. Потім дужки стерли. Необхідно визначити найменше значення, яке могло мати вихідний арифметичний вираз.

Вхід. Рядок e, що містить арифметичний вираз без дужок.

Вихід. Найменше значення, яке може мати арифметичний вираз, якщо в ньому розставити дужки.

Вхід

Вихід

e

 

“55-50+40”

-35

“10+20+30+40”

100

“00009-00009”

0

 

3. Підрахунок спільних підпослідовностей. Підпослідовність утворюється з рядка вилученням нуля або декількох символів з нього. За заданими трьома рядками слід підрахувати кількість їх спільних підпослідовностей.

Вхід. Три рядки a, b та c.

Вихід. Кількість спільних підпослідовностей трьох рядків a, b та c.

Вхід

Вихід

a

b

c

 

“call”

“accelerate”

“candle”

6

“topcoder”

“topcoder”

“topcoder”

239

“no”

“correct”

“answer”

0

 

4. Щасливе число. Нехай n – натуральне число. Піднесемо в k - у степінь кожну його цифру і просумуємо отримані результати. Позначимо отриманий результат через Sk(n). Наприклад, S2(65) = 62 + 52 = 61. Побудуємо послідовність n, Sk(n), Sk(Sk(n)), … . Щастям числа n по відношенню до k будемо називати найменше число в цій послідовності.

Вхід. Три числа a, b, k.

Вихід. Знайти щастя кожного числа між a та b включно по відношенню до k і повернути їх суму.

Обмеження: 1 ≤ a, b ≤ 106, 1 ≤ k ≤ 6.

Вхід

Вихід

a

b

k

 

13

13

2

1

1

5

2

14

535

538

3

820

 

5. Паралельне програмування. Існує складна система, що містить в собі декілька паралельно працюючих процесорів. Але деякі процесори можуть почати роботу лише тоді, коли інші закінчать свою роботу. i - ий елемент масиву time містить час виконання роботи  i - им процесором (в мілісекундах). Інформація про залежність виконання робіт міститься в масиві prec: prec[i][j]  містить ‘Y’, якщо процесор j може почати роботу лише по завершенню роботи процесора i, та ‘N’, якщо час роботи i - го та j - го процесорів не залежать один від іншого.

Вхід. Масив time, який містить час роботи процесорів та масив prec, що описує залежність виконання робіт процесорів.

Вихід. Найменший час (в міліисекундах), необхідний для виконання робіт усіма процесорами. Якщо роботи виконати неможливо, повернути -1.

Вхід

Вихід

time

prec

 

{150,200,250}

 
{"NNN",
"NNN",

"NNN"}

250

{150,200,250}

 
{"NNN",
"YNN",

"NNN"}

350

{150,200,250}

 
{"NYN",
"NNY",

"YNN"}

-1