Завдання письмових іспитів
з математики

2001 рік

Варіант № 1

1. Розв’язати нерівність

2. Розв’язати рівняння

, де а – параметр.

3. Знайти найбільше значення виразу x + 2y + z, якщо .

4. На площині a лежать своїми основами 3 півсфери радіуса R. Кожна з півсфер дотикається двох сусідніх. Навколо півсфер, дотикаючись кожної з них, описано прямий круговий конус з основою на площині a. Знайти радіус основи та висоту такого конуса мінімального об’єму.

Варіант № 2

1. Розв’язати нерівність

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти найбільше значення виразу 2x – y + z , якщо .

4. На площині a лежать своїми основами 4 півсфери радіуса R, центри яких є вершинами квадрата. Кожна з півсфер дотикається двох сусідніх. Навколо півсфер, дотикаючись кожної з них, описано прямий круговий конус з основою на площині a. Знайти радіус основи та висоту такого конуса мінімального об’єму.

Варіант № 3

1. Розв’язати нерівність

2. Розв’язати рівняння

, де а – параметр.

3. Знайти найбільше значення виразу x + y – 2z , якщо .

4. На площині a лежать своїми основами 6 півсфер радіуса R, центри яких є вершинами правильного шестикутника. Кожна з півсфер дотикається двох сусідніх. Навколо півсфер, дотикаючись кожної з них, описано прямий круговий конус з основою на площині a. Знайти радіус основи та висоту такого конуса мінімального об’єму.

Варіант № 4

1. Розв’язати нерівність

2. Розв’язати рівняння

, де а – параметр.

3. Знайти найбільше значення виразу x – 2y – z , якщо .

4. На площині a лежать своїми основами 8 півсфер радіуса R, центри яких є вершинами правильного восьмикутника. Кожна з півсфер дотикається двох сусідніх. Навколо півсфер, дотикаючись кожної з них, описано прямий круговий конус з основою на площині a. Знайти радіус основи та висоту такого конуса мінімального об’єму.

Варіант № 5

1. Розв’язати рівняння

2. На координатній площині xOy зобразити геометричне місце точок (x, y), для яких існує таке дійсне число a, що

3. При яких значеннях a всі розв’язки нерівності будуть розв’язками рівняння ?

4. Площини бічних граней трикутної піраміди SABC нахилені до площини основи ABC під однаковим кутом. Висота SH піраміди дорівнює 9, а відстані від точки H до найближчих точок відрізків AB, AC і BC дорівнюють відповідно 6, 7 і 8. Знайти об’єм піраміди.

Варіант № 6

1. Розв’язати рівняння

2. На координатній площині xOy зобразити геометричне місце точок (x, y), для яких існує таке дійсне число a, що

3. Для яких значень параметра a всі розв’язки нерівності будуть розв’язками рівняння ?

4. Основою трикутної піраміди SABC є трикутник ABC, у якого . Висота SH піраміди дорівнює 6, а відстані від точки H до найближчих точок відрізків AB і AC дорівнюють відповідно 4 і 5. Знайти об’єм піраміди, якщо відомо, що площини її бічних граней нахилені до площини основи під однаковим кутом.

Варіант № 7

1. Розв’язати рівняння

2. На координатній площині xOy зобразити геометричне місце точок (x, y), для яких існує таке дійсне число a, що

3. Для яких значень параметра a всі розв’язки нерівності будуть розв’язками рівняння ?

4. Площини бічних граней трикутної піраміди SABC нахилені до площини основи ABC під кутом 30^o. Знайти об’єм піраміди, якщо відомо, що відстані від точки H (H – основа висоти піраміди SH) до найближчих точок відрізків AB, BC і AC дорівнюють відповідно 10, 11 і 12.

Варіант № 8

1. Розв’язати рівняння

2. На координатній площині xOy зобразити геометричне місце точок (x, y), для яких існує таке дійсне число a, що

3. Для яких значень параметра а всі розв’язки нерівності будуть розв’язками рівняння ?

4. Площини бічних граней трикутної піраміди SABC нахилені до площини основи ABC під кутом 45°, а кут BAC її основи дорівнює 120°. Знайти об’єм піраміди, якщо відомо, що відстані від точки H (H – основа висоти піраміди SH) до найближчих точок відрізків AB і BC дорівнюють відповідно 7 і 8.

2002 рік

Варіант № 1

1. Для яких значень параметрів a, b послідовності дійсних чисел та , n = 0, 1, 2, … задовольняють такі три умови:

1), n = 0,1,2,… ;

2) кожен член послідовності можна подати, принаймні єдиним чином, у вигляді суми двох, не обов’язково різних, членів послідовності ;

3) сума кожних двох членів послідовності є деяким членом послідовності .

2. Розв’язати систему нерівностей відносно x

де а – параметр.

3. Розв’язати рівняння

4. На параболі у вказаному порядку розташовано чотири точки A (–2, 15), B(0, 1), C(x, y), D(2, 3). Знайти координати точки C так, щоб площа чотирикутника ABCD була найбільшою.

Варіант № 2

1. Для яких значень параметрів a, b послідовності дійсних чисел та , n = 0, 1, 2, … задовольняють такі три умови:

1), n = 0,1,2,…;

3) сума кожних двох членів послідовності є деяким членом послідовності .

2. Розв’язати систему нерівностей відносно x

де а – параметр.

3. Розв’язати рівняння

4. На параболі у вказаному порядку розташовано чотири точки A(–3, –6), B(0, 3), C(x, y), D(2, –11). Знайти координати точки C так, щоб площа чотирикутника ABCD була найбільшою.

Варіант № 3

1. Для яких значень параметрів a, b послідовності дійсних чисел та , n = 0, 1, 2, … задовольняють такі три умови:

1), n = 0, 1, 2, … ;

3) сума кожних двох членів послідовності є деяким членом послідовності .

2. Розв’язати систему нерівностей відносно x

де а – параметр.

3. Розв’язати рівняння

4. На параболі у вказаному порядку розташовано чотири точки A(2, 9), B(1, 4), C(x, y), D(–2, 25). Знайти координати точки C так, щоб площа чотирикутника ABCD була найбільшою.

Варіант № 4

1. Для яких значень параметрів a, b послідовності дійсних чисел та , n = 0, 1, 2, … задовольняють такі три умови:

1), n = 0,1,2,… ;

3) сума кожних двох членів послідовності є деяким членом послідовності .

2. Розв’язати систему нерівностей відносно x

де а – параметр.

3. Розв’язати рівняння

4. На параболі у вказаному порядку розташовано чотири точки A(2, –5), B(1, 2), C(x, y), D(–2, –13). Знайти координати точки C так, щоб площа чотирикутника ABCD була найбільшою.

Варіант № 5

1. Знайти найменше та найбільше значення виразу на множині точок з координатами (x, y), що задовольняють нерівність

(Через позначено менше з чисел a, b).

2. Розв’язати рівняння

3. При яких значеннях параметра a нерівність має принаймні один розв’язок, більший за –1 ?

4. На площині лежать шість однакових конусів, які мають спільну вершину в точці, що належить площині. Кожний конус дотикається двох сусідніх конусів. Знайти кут при вершині осьового перерізу одного з конусів.

Варіант № 6

1. Знайти найменше та найбільше значення виразу на множині точок з координатами (x, y), що задовольняють систему нерівностей

(Через позначено менше з чисел a, b).

2. Розв’язати рівняння

3. При яких значеннях параметра a нерівність має принаймні один розв’язок, менший за 1?

4. На площині лежать п’ять однакових конусів, які мають спільну вершину в точці, що належить площині. Кожний конус дотикається двох сусідніх конусів. Знайти кут при вершині осьового перерізу одного з конусів.

Варіант № 7

(Через позначено більше з чисел a, b; а через позначено менше з чисел a, b).

2. Розв’язати рівняння

3. При яких значеннях параметра a нерівність має принаймні один розв’язок, більший за –2?

4. На площині лежать чотири однакових конуси, які мають спільну вершину в точці, що належить площині. Кожний конус дотикається двох сусідніх конусів. Знайти кут при вершині осьового перерізу одного з конусів.

Варіант № 8

(Через позначено більше з чисел a, b).

2. Розв’язати рівняння

3. При яких значеннях параметра a нерівність має принаймні один розв’язок, менший за 2?

4. На площині лежать три однакових конуси, які мають спільну вершину в точці, що належить площині. Кожний конус дотикається двох сусідніх конусів. Знайти кут при вершині осьового перерізу одного з конусів.

2003 рік

Варіант № 1

1. Задано три додатних числа, що утворюють арифметичну прогресію. Їх сума дорівнює 15. Якщо до них додати відповідно 1, 4 та 19, то отримаємо три числа, що утворюють геометричну прогресію. Знайти задані числа.

2. Знайти всі пари дійсних чисел a і b, для кожної з яких рівність

виконується для всіх дійсних додатних значень x.

3. Розв’язати рівняння .

4. В конус з вершиною S вписано правильну трикутну піраміду SABC. При цьому основою піраміди є трикутник ABC, вписаний в основу конуса. Бічна грань нахилена до основи під кутом a. Через бічне ребро SA піраміди проведено переріз конуса найбільшої площі. Знайти площу цього перерізу, якщо , а довжина ребра SA дорівнює 10.

Варіант № 2

1. Три числа, сума яких дорівнює 78, утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа, якщо їх можна також розглядати як перший, третій та дев’ятий члени арифметичної прогресії.

2. Знайти всі пари дійсних чисел a і b, для кожної з яких рівність

виконується для всіх дійсних додатних значень x.

3. Розв’язати рівняння.

4. В конус з вершиною S вписано правильну шестикутну піраміду SABCDEF. При цьому її основа вписана в основу конуса, а бічна грань нахилена до основи під кутом a. Через бічне ребро піраміди SA проведено переріз конуса найбільшої площі. Знайти площу цього перерізу, якщо , а довжина ребра SA дорівнює 10.

Варіант № 3

1. Задано трійку чисел, що утворюють арифметичну прогресію. Якщо третє число зменшити на 3, а два інших залишити без зміни, то числа отриманої трійки утворюють геометричну прогресію. Якщо друге число отриманої трійки зменшити на , то отримані числа знову утворюють геометричну прогресію. Знайти задані числа.

2. Знайти всі пари дійсних чисел a і b, для кожної з яких рівність

виконується для всіх дійсних додатних значень x.

3. Розв’язати рівняння .

4. В конус з вершиною S вписано правильну чотирикутну піраміду SABCD. При цьому її основа вписана в основу конуса, а бічна грань нахилена до основи під кутом a. Через бічне ребро піраміди SA проведено переріз конуса найбільшої площі. Знайти площу цього перерізу, якщо , а довжина ребра SA дорівнює 10.

Варіант № 4

1. Три числа, сума яких дорівнює 93, утворюють геометричну прогресію. Знайти ці числа, якщо їх можна також розглядати як перший, другий та сьомий члени арифметичної прогресії.

2. Знайти всі пари дійсних чисел a і b, для кожної з яких рівність

виконується для всіх дійсних додатних значень x .

3. Розв’язати рівняння .

4. В конус з вершиною S вписано правильну чотирикутну піраміду SABCD. При цьому її основа вписана в основу конуса. Через бічне ребро піраміди SA проведено переріз конуса найбільшої площі. Знайти площу цього перерізу, якщо довжини ребер SA та AB дорівнюють відповідно 10 та 11.

Варіант № 5

1. Розв’язати нерівність

2. При всіх значеннях параметра а розв’язати рівняння

3. Розв’язати рівняння

4. Задано пряму трикутну призму ABCA₁B₁C₁ (AA₁, BB₁, CC₁ – бокові ребра), в якій АС = 6, АА₁ = 8. Через вершину А проведено площину, що перетинає ребра ВВ₁ та СС₁ в точках М та Н відповідно. В якому відношенні ця площина ділить об’єм призми, якщо ВМ = МВ₁, а АН є бісектрисою кута САС₁ ?

Варіант № 6

1. Розв’язати нерівність

2. При всіх значеннях параметра а розв’язати рівняння

3. Розв’язати рівняння

4. Площина перетинає ребра НА, НВ та НС трикутної піраміди НАВС (H – вершина піраміди) в точках K, Т, М відповідно. В якому відношенні ця площина ділить об’єм піраміди, якщо відомо, що HK/KA=HT/TB =2, а медіана НN трикутника НВС ділиться цією площиною навпіл?

Варіант № 7

1. Розв’язати нерівність

2. При всіх значеннях параметра а розв’язати рівняння

3. Розв’язати рівняння

4. Задано пряму трикутну призму АВСАА₁B₁C₁ (АА₁, ВВ₁, СС₁ – бокові ребра). Площина перетинає ребра А₁В₁, В₁С₁ та ВС в точках М, Н, Р відповідно. Знайти, в якому відношенні ця площина ділить об’єм призми, якщо відомо, що В₁М/А₁В₁ = 1/2, В₁М/В₁C₁ = 2/3 та ВР/СВ = 1/3.

Варіант № 8

1. Розв’язати нерівність

2. При всіх значеннях параметра а розв’язати рівняння

3. Розв’язати рівняння

4. Площина проходить через вершину А основи трикутної піраміди НАВС (H – вершина піраміди), ділить навпіл медіану НК трикутника НАВ, а медіану НL трикутника НАС перетинає в точці Р такій, що НР/РL = 1/2. В якому відношенні ця площина ділить об’єм піраміди?

2004 рік

Варіант № 1

1. Знайти всі пари натуральних чисел, більших за 0 і менших за 200 таких, що їх різниця додатна і кратна 20, а частка кратна 5.

2. При яких значеннях параметра а для будь-якого дійсного значення b знайдуться хоча б 4 дійсних значення параметра с таких, що система

матиме принаймні один розв’язок ?

3. При яких значеннях b pівняння має єдиний розв’язок?

4. Знайти найменше значення функції

5. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 9 см і 21 см, а її висота дорівнює 8 см. Знайти відношення площі трапеції до площі круга, описаного навколо трапеції.

Варіант № 2

1. Знайти всі пари натуральних чисел, більших за 0 і менших за 60 таких, що їх НСД дорівнює 3, а їх різниця додатна і кратна 18.

2. При яких значеннях параметра а для будь-якого дійсного значення b знайдеться хоча б одне дійсне значення параметра с таке, що система

матиме хоча б один розв’язок ?

3. При яких значеннях b pівняння має єдиний розв’язок ?

4. Знайти найменше значення функції

5. Навколо круга радіуса r описана прямокутна трапеція, найменша з сторін якої дорівнює . Знайти площу трапеції.

Варіант № 3

1. Розв’язати рівняння

2. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності будуть розв’язками pівняння |x² – 2ax – 1| = x² – 2ax – 1?

3. Нехай хÎ[0, 2]. Знайти розв’язки рівняння

4. В колі радіуса R проведено два взаємно перпендикулярні радіуси ОА та ОВ. Друге коло такого ж радіуса R має центр в точці В. Знайти радіус третього кола, яке дотикається радіуса ОА, першого кола внутрішнім чином (точка дотику належить на дузі АВ) та другого кола зовнішнім чином.

5. У 100 л суміші азоту та кисню міститься 75 % кисню. Випускають х л суміші та додають х л іншої суміші азоту та кисню, де кисню 25 %. Потім знову випускають х л суміші та додають х л суміші, де кисню 25 %. Знайти х, якщо в підсумку азоту і кисню виявилось порівну.

Варіант № 4

1. Розв’язати рівняння

2. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності будуть розв’язками pівняння ?

3. Нехай х Î [2, 3]. Знайти розв’язки рівняння

4. В DABC на стороні АВ обрано точку К так, що АК : АВ = 1 : 2, а на стороні ВС обрано точку L так, що CL : ВL = 2 : 1. Нехай Q = ALÇСК. Знайти S_D_ABC, якщо S_D_BQC= 1.

5. З десятилітрової бочки, в якій міститься р % розчин спирту, відливають 2х л і доливають воду, а потім відливають ще х л розчину і знову доливають воду так, що в підсумку концентрація спирту стає q %. Знайти х, якщо q=p/2.

Варіант № 5

1. Дві сторони трикутника дорівнюють a та b, а кут між ними дорівнює 2p/3. Знайти довжину бісектриси цього кута.

2. Розв’язати рівняння

3. Розв’язати нерівнiсть

4. На площині Р стоїть конус, твірна якого дорівнює діаметру основи. Чотири рівні кулі розташовані так, що кожна дотикається двох сусідніх, площини Р та бічної поверхні конуса. Знайти радіуси куль, якщо діаметр основи конуса дорівнює 2.

5. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких pівняння

має розв’язки.

Варіант № 6

1. Дві сторони трикутника дорівнюють a та b. Знайти третю сторону, якщо відомо, що кут проти цієї сторони вдвічі більший кута проти сторони b.

2. Розв’язати рівняння

3. Розв’язати нерівнiсть 

4. На площині Р стоїть конус, твірна якого дорівнює діаметру основи. Шість рівних куль розташовані так, що кожна дотикається двох сусідніх, площини Р та бічної поверхні конуса. Знайти діаметр основи конуса, якщо радіуси куль дорівнюють 1.

5. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких pівняння

має розв’язки.

Варіант № 7

1. Сума перших шести членів геометричної прогресії дорівнює 10, а сума наступних шести її членів дорівнює 20. Знайти суму перших вісімнадцяти членів цієї прогресії.

2. Знайти найменшу відстань між графіками функцій

і ,

якщо х < –1.

3. При яких значеннях параметра а pівняння

має єдиний розв’язок ?

4. Розв’язати нерівнiсть tg (1/x) ³1, якщо хÎ(1/6, 1/4).

5. У правильній чотирикутній піраміді кут між бічною гранню та основою дорівнює a. На висоті піраміди як на діаметрі побудована куля. Визначити відношення площі бічної поверхні піраміди до площі тієї частини бічної поверхні піраміди, яка знаходиться зовні кулі.

Варіант № 8

1. Усі члени арифметичної прогресії натуральні числа. Сума її перших дев’яти членів більша за 200, але менша за 220. Знайти перший член прогресії, якщо її другий член дорівнює 12.

2. Знайти найменшу відстань між графіками функцій

якщо х < –1.

3. При яких значеннях параметра а pівняння

має єдиний розв’язок ?

4. Розв’язати нерівнiсть

5. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут біля вершини дорівнює 2a. На висоті піраміди як на діаметрі побудовано кулю. Визначити відношення площі повної поверхні піраміди до площі поверхні піраміди, що знаходиться всередині кулі.

Варіант № 9

1. Знайти кількість членів геометричної прогресії, якщо відношення суми перших десяти її членів до суми останніх десяти членів дорівнює 9, а відношення суми всіх її членів без перших восьми до суми всіх її членів без останніх восьми дорівнює 1/3.

2. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності будуть також розв’язками нерівності ?

3. Розв’язати нерівність

4. В прямий круговий конус з твірною довжини a та кутом a між твірною та висотою конуса вписані п’ятикутна правильна піраміда та куля, що дотикається конічної поверхні та основи конуса. Знайти відстань від центра кулі до бічної грані піраміди.

Варіант № 10

1. Знайти кількість членів геометричної прогресії, якщо відношення суми перших дванадцяти її членів до суми останніх дванадцяти членів дорівнює 25, а відношення суми всіх її членів без перших шести до суми всіх її членів без останніх шести дорівнює 1/5.

2. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності будуть також розв’язками нерівності ?

3. Розв’язати нерівність

4. В прямий круговий конус з твірною довжини та кутом між твірною та висотою конуса вписані десятикутна правильна піраміда та куля, що дотикається конічної поверхні та основи конуса. Знайти відстань від центра кулі до бічної грані піраміди.

Варіант № 11

1. Знайти кількість членів геометричної прогресії, якщо відношення суми перших дев’яти її членів до суми останніх дев’яти членів дорівнює 1/3, а відношення суми всіх її членів без перших шести до суми всіх її членів без останніх шести дорівнює 9.

2. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності будуть також розв’язками нерівності ?

3. Розв’язати нерівність

4. В прямий круговий конус з висотою довжини h та кутом a між твірною та висотою конуса вписані п’ятикутна правильна піраміда та куля, що дотикається конічної поверхні та основи конуса. Знайти відстань від центра кулі до бічної грані піраміди.

Варіант № 12

1. Знайти кількість членів геометричної прогресії, якщо відношення суми перших дванадцяти її членів до суми останніх дванадцяти членів дорівнює 1/5, а відношення суми всіх її членів без перших десяти до суми всіх її членів без останніх десяти дорівнює 25.

2. При яких значеннях параметра а всі розв’язки нерівності будуть також розв’язками нерівності ?

3. Розв’язати нерівність

4. В прямий круговий конус з висотою довжини та кутом між твірною та висотою конуса вписані десятикутна правильна піраміда та куля, що дотикається конічної поверхні та основи конуса. Знайти відстань від центра кулі до бічної грані піраміди.

Варіант № 13

1. Розв’язати рівняння .

2. Для кожного значення параметра aÎ(0; 1) знайти найменше значення функції

на множині пар дійсних чисел (x; y) таких, що sin (pxy) = 0.

3. Розв’язати систему рівнянь в дійсних числах

4. Точки E, F та G розташовано на сторонах AB, BC та CA трикутника ABC. Відомо, що . Знайти відношення площі трикутника, утвореного прямими AF, BG та CE, до площі трикутника ABC.