Завдання з математики

на співбесіді з абітурієнтами

 

1999 рік

 

Білет № 1

1. Розв’язати рівняння

        

2. Нехай х, у, z, v – додатні числа, добуток яких дорівнює 1. Довести нерівність  х2+ у2+ z2 + v2 + xy+ xz+ xv+ yz+ yv+ zv > 10

Білет № 2

1. Нехай α, β, γ – кути трикутника. Яке найбільше значення може мати добуток      tg(α/2)×tg(β/2)×tg(γ/2)?

2. Чи можна суму 10000 гривень набрати за допомогою 400 купюр номіналом 1, 10 та 100 гривень?

Білет № 3

1. Довести нерівність

2. Знайти всі цілі x, для яких 

Білет № 4

1. Знайти корені рівняння

--- , що належать відрізку [–3; 2].

2. Яке найбільше значення може набувати площа трикутника, якщо довжини a, b, c його сторін задовольняють співвідношення 1 £ a £ 2,  2 £ b £ 3,  3 £ c £ 4?

Білет № 5

1. Довести нерівність 

2. Знайти корені рівняння

    , що належать відрізку [–2; 3].

 

Білет № 6

1. Довести, що коли число ділиться на 99, то сума його цифр не менша за 18.

2. Нехай α, β, γ – кути трикутника. Яке найменше значення може мати сума      tg(α/2) + tg(β/2) + tg(γ/2)?

Білет № 7

1. Чи існує степінь числа 1999, яка закінчується цифрами 0000001?

2. Точки A та B лежать по один бік прямої MN. Побудувати на MN таку точку C, що ÐACM = 2ÐBCN. 

Білет № 8

1. Розв’язати рівняння (x2 + 2x – 5)2 + 2x2 + 3x = 15.

2. Нехай x та y – додатні дійсні числа, а m – найменше з чисел x, 1/y та 1/x+ у. Яке найбільше можливе значення m? При яких значеннях x та y воно досягається ?

 

2000 рік

1. З’ясувати, яким є трикутник з висотами 3, 4 і 5: тупокутним, прямокутним чи гострокутним.

2. Обчислити 

3. Побудувати квадрат, якщо відомо його чотири точки, по одній на кожній з прямих, що містять сторони квадрата.

4. Розв’язати рівняння          2sinx + 2cosx = 21–/2

5. Коло дотикається до двох сторін трикутника і двох його медіан. Довести, що трикутник є рівнобедреним.

6. Розв’язати рівняння          sin x = x2 + x + 1

7. У задане коло вписати трапецію найбільшої площі, якщо відомо, що одна основа трапеції вдвічі більша за іншу.

8. Розв’язати систему рівнянь

         x12 + x22 +…+ xn2 = 3,

         1/x12 + 1/x22 +…+ 1/xn2 = 3.

9. Усередині даного кута вибрано точку. Провести через цю точку пряму, яка відтинає від кута трикутник найменшої площі.

10. Розв’язати рівняння  .

11. Побудувати трикутник за відомими точками перетину з описаним колом продовжень медіани, бісектриси і висоти, проведених з однієї вершини.

12. Довести нерівність

         .

13. Довести, що коли відрізок, що з’єднує середини двох протилежних сторін опуклого чотирикутника, дорівнює півсумі двох інших сторін, то цей чотирикутник є або трапецією, або паралелограмом.

14. Відомо, що tg a1 × tg a2×… ×tg an = 1. Визначити найбільше значення виразу sina1×sin a2×… ×sin an.

15. Побудувати трикутник за двома сторонами так, щоб медіана, проведена до третьої сторони, ділила кут у відношенні 1:2.

16. Чи існують визначені на всій числовій прямій такі функції f і g, що для всіх x і y виконується f(x)g(y) = x+y+1. Відповідь обгрунтувати.

 

2001 рік

Білет № 1

1. Три кола радіуса R перетинаються у спільній точці H і в точках A, B, C. Довести, що H – ортоцентр трикутника ABC.

2. Знайти sin 18°.

Білет № 2

1. Коло дотикається прямих AB і BC відповідно в точках D і E. Точка A лежить між точками B і D, а точка C – між B і E. Знайти площу трикутника ABC, якщо AB=13, AC = 1, а точки A, D, E і C лежать на одному колі.

2. Розв’язати нерівність

         cos2 (x+1) × lg (9 – 2x – x2) ³ 1.

Білет № 3

1. Розв’язати рівняння в цілих числах   3x2+5y2 = 345.

2. Довести нерівність

   

Білет № 4

1. Довести, що коли всі квадрати, вписані в трикутник так, що дві вершини розміщено на одній стороні трикутника, а дві інші вершини на двох інших сторонах трикутника, рівні між собою, то трикутник правильний.

2. Розв’язати рівняння

         cos (8(x + p/2)) – 9 = 3cos 3(x + p) + 5cos (5x – 3p)

Білет № 5

1. При яких значеннях параметра а система рівнянь

                                      

    має: 1 ) один розв’язок?     2) два розв’язки?

2. Розв’язати нерівність log2(1+cos2 px)×(4x – x2 – 3) ³ 1.

Білет № 6

1. Через точку, яка лежить усередині кута, провести пряму так, щоб вона утворила із сторонами кута трикутник найменшої площі.

2. Розв’язати рівняння 

         log3(4 – |cos (4x/3)|) = sin x. 

Білет № 7

1. Знайти множину всіх пар чисел (a, b), для кожної з яких при всіх значеннях x справджується рівність a(соs х–1) + b2 = cos (a+b2) – 1.

2. Розв’язати рівняння  

   

Білет № 8

1. Розв’язати систему рівнянь

    2. Розв’язати рівняння  [x]+1/[x] = {x}+1/{x}, де [x] – ціла, а {x} – дробова частина числа x.

 

2002 рік

1. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

     .

2. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

    .

3. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

   

4. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

    .

5. Знайти всі x, для кожного з яких нерівність

   

виконується принаймні для одного aÎ[–2; 1].

6. Знайти всі x, для кожного з яких нерівність

   

виконується принаймні для одного aÎ[–1; 2].

7. Знайти всі x, для кожного з яких нерівність

   

виконується принаймні для одного aÎ[–1; 1].

8. Знайти всі x, для кожного з яких нерівність

   

виконується принаймні для одного aÎ[1; 2].

9. Для яких цілих n рівняння

   

має розв’язки в цілих числах. Знайти ці розв’язки.

10. Для яких цілих n рівняння

   

має розв’язки в цілих числах. Знайти ці розв’язки.

11. Для яких цілих n рівняння

   

має розв’язки в цілих числах. Знайти ці розв’язки.

12. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

     .

13. Знайти усі трійки цілих чисел (x, y, z), для кожної з яких має місце рівність

    .

14. Знайти усі трійки цілих чисел (p, q, s), для кожної з яких має місце рівність

    .

15. Розв’язати нерівність в цілих числах

    .

16. Розв’язати нерівність в цілих числах

    .

17. Знайти усі трійки цілих чисел (x, y, z), для кожної з яких має місце рівність

    .

18. Знайти усі трійки цілих чисел (x, y, z), для кожної з яких має місце рівність

    .

19. Знайти усі трійки цілих чисел (p, q, s), для кожної з яких має місце рівність

    .

20. Розв’язати нерівність в цілих числах

    .

21. Розв’язати нерівність в цілих числах

    .

22. Знайти усі трійки цілих чисел (x, y, z), для кожної з яких має місце рівність

    .

2003 рік

 

Білет № 1

1. Для яких цілих n рівняння

     

має розв’язки в цілих числах? Знайти ці розв’язки.

2. При яких дійсних а корені рівняння  лежать між коренями рівняння ?

 

Білет № 2

1.У квадраті, сторона якого дорівнює 10, розміщені 2003 точки. Довести, що деякі три з цих точок обов’язково містяться всередині круга радіуса 11/20.

2. При яких значеннях параметра а будь-який розв’язок нерівності  більший за будь-який розв’язок нерівності ?

 

Білет № 3

1. Знайти всі значення параметра а, при яких фігура задана нерівністю

        

утворює 14-кутник.

2. Знайти всі значення параметра а, при яких нерівність   виконується для всіх xÎ[1; 3].

 

Білет № 4

1. Задано арифметичну прогресію з цілою різницею, що складається з 2002 членів, один з яких дорівнює 1001. Розв’язати в цілих числах систему , де f(x), g(x) – многочлени, коефіцієнти яких є відповідно непарними та парними членами прогресії.

2. Знайти всі значення параметра а, при яких нерівність  має своїм наслідком нерівність .

 

Білет № 5

1. Знайти всі значення параметра b, при кожному з яких для довільного значення параметра a функція

   

є періодичною, якщо t1 та t2 є коренями рівняння

    .

2. Знайти всі значення параметра a, при яких нерівність

          

виконується для всіх xÎ[1; 2].

 

Білет № 6

1. Довести, що многочлен , де а1, а2, ..., аk – різні цілі числа, не можна розкласти в добуток двох многочленів меншої степені з цілими коефіцієнтами.

2. Задано трикутник ABC з вершинами A(2, –2), B(8, 0), C(5, 7). На бісектрисі внутрішнього кута при вершині A знайти координати точки M такої, що величина  набуває найбільшого значення.

 

Білет № 7

1. При всіх значеннях параметра  розв’язати нерівність

         .

2. Показати, що для довільного натурального k існують числа вигляду 7n – 1
(n – натуральне), що діляться на 10k.

 

Білет № 8

1. При всіх значеннях параметра  розв’язати нерівність

         .

2. Нехай f(x) – додатна функція, що не зростає, визначена на всій числовій вісі, і така, що для деяких a1, a2, b1 > 0, b2 > 1, a1 + a2 > 1 виконується рівність

         .

Показати, що знайдуться  такі, що  для всіх x ³ 0.

 

Білет № 9

1. При всіх значеннях параметра а ³ 0 розв’язати нерівність

         .

2. При яких значеннях параметра а рівняння

        

має єдиний розв’язок?

 

Білет № 10

1. При всіх значеннях параметра а ³ 0 розв’язати нерівність

         .

2. Чи існують 2003 послідовних натуральних числа, серед яких немає жодного простого?

 

Білет № 11

1. З’ясувати парність цілої частини числа .

2. Скласти алгоритм знаходження цифри, яка зустрічається в записах простих чисел від N до M найбільше число разів (N, M < 102003).

 

Білет № 12

1. Чи існують на площині такі точки A, B, C, що для довільної точки P цієї площини довжина принаймні одного з відрізків PA, PB, PC є ірраціональним числом?

2. Скласти алгоритм розстановки K фішок навколо N-кутника (біля кутів та уздовж сторін) так, щоб біля кожної сторони стояла однакова кількість фішок. Біля кута можна поставити тільки одну фішку, вона вважається такою, що відповідає двом суміжним сторонам. Уздовж сторони можна ставити довільну кількість фішок.

 

Білет № 13

1. Розв’язати в натуральних числах систему рівнянь

        

2. Скласти алгоритм знаходження найбільшого числа, яке можна одержати з цифр чисел N та M (N, M < 102003), не змінюючи початкової послідовності цифр цих чисел.

 

Білет № 15

1. Відомо, що . Довести, що 3 < a6 < 4.

2. Скласти алгоритм розбиття множини натуральних чисел 1, 2, 3, ..., 2N (N < 2003) на пари так, щоб серед них була найбільша кількість пар, сума чисел в яких є простим числом.


2004 рік

1. Десятковий запис числа  містить m цифр, а десятковий запис числа  містить n цифр. Знайти m + n.

2. При яких значеннях параметра  рівняння  є рівносильним рівнянню ?

3. Навести приклад натуральних чисел , що утворюють арифметичну прогресію, а їх добуток є квадратом натурального числа.

4. Визначити дійсні a, b та c, для яких  при , та величина  є максимальною.

5. Задано числа , , …, , де n ³ 3 – непарне число. Довести, що принаймні одне із заданих чисел ділиться на .

6. Знайти всі додатні x, для яких з нерівностей , ,  випливає нерівність .

7. Областю визначення та областю значень функції f є множина цілих невід’ємних чисел. Для довільного  з області визначення виконується рівність f(f(n)) + f(n) = 2n + 3. Знайти f(2004).

8. Скласти рівняння сторін трикутника ABC з вершиною A(3; –1), якщо відомі рівняння бісектриси x – 4y + 10 = 0 та рівняння медіани
6x + 10y – 59 = 0, проведених з різних вершин.

9. Довести, що серед чисел вигляду 2n+n2 (n – натуральне число) є нескінченно багато чисел, що діляться на 100.

10. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

    .

11. Нехай для всіх дійсних чисел x функція f(x) задовольняє рівність

    .

Чи є функція f(x) періодичною? Чи може функція f(x) бути не многочленом?

12. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

    .

13. Послідовність  дійсних чисел задовольняє умови: 1) a0 = 1, a501 = 0;

2) для всіх натуральних  виконується рівність . Знайти a2004.

14. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

    .

15. Чи існує таке натуральне число k, що 100 останніх цифр десяткового запису числа 3k збігаються зі 100 останніми цифрами десяткового запису числа 7k?

16. Знайти всі трійки цілих x, y, z, що задовольняють нерівність

    .

 

2006 рік

Варіант 1

1. Чи можна поліном   x2006 + 3x2005 + 2x2004 – 7x – 7   подати у вигляді добутку:

a) двох

b) трьох

c) чотирьох

поліномів степені ³1 з усіма цілочисельними коефіцієнтами ?  Відповідь аргументувати.

 

2. Гравець має n карток з додатними числами. Склеюючи їх одна з одною, можна отримати різні довгі числа. Наприклад, із чисел 123, 124, 56, 90 можна отримати 24 різні числа: 1231245690, 1241235690, 5612312490, 9012312456, 9056124123 і так далі. Число 9056124123 є найбільшим серед них. Написати алгоритм, який для заданого набору чисел знаходить максимальне число, що можна отримати в результаті операцій склеювань.

 

3.  Необхідно пройти по сходах, які мають n  сходинок. Із чергової сходинки можна ступати або на наступну сходинку, або через одну. Скільки існує варіантів пройти по сходах?

 

Варіант 2

 

 

1. Розв’язати рівняння   x4 + 3x3 + 5x2 + x –1 = 0.

 

2. Визначити кількість розв’язків рівняння  x2006 – 2x2005 + 3x2004 – … – 2006x + 2007 = 0.

 

3. В печері знаходяться подільні (золото, срібло) та неподільні (ваза, сундук) скарби. Про кожний i - ий скарб відомі його вага wi, вартість ci та чи є він подільним (fi = 1 якщо скарб подільний, та fi = 0 інакше). Аладін може винести із печери скарбів вагою не більше W. Написати алгоритм, який обирає підмножину скарбів максимальної вартості, яку може винести Аладін із печери. Кількість різних скарбів у печері не більша за 1000.

 

Варіант 3

 

1. Розв’язати рівняння   x4 + 2x3 – 7x2 – 8x +1 = 0.

 

2. Визначити кількість розв’язків рівняння  x2006 + 2x2005 + 3x2004 + … + 2006x + 2007 = 0.

 

3 В печері знаходяться подільні (золото, срібло) та неподільні (ваза, сундук) скарби. Про кожний i - ий скарб відомі його вага wi, вартість ci та чи є він подільним (fi = 1 якщо скарб подільний, та fi = 0 інакше). Аладін може винести із печери скарбів вагою не більше W. Написати алгоритм, який обирає підмножину скарбів максимальної вартості, яку може винести Аладін із печери. Кількість різних скарбів у печері не більша за 1000.

 

 

2007 рік

1. Обчислити: .

2. Обчислювальний пристрій (калькулятор) працює тільки з цілими числами будь якої довжини, але має тільки одну комірку пам’яті. Пристрій може виконувати прості арифметичні дії: додавання, віднімання, множення, піднесення до квадрату.

Як на такому пристрої обчислити значення виразу

3. Відомо, що  .  В яких межах може змінюватися добуток 

4. Розв’яжіть рівняння 

5. Знайти найменше значення виразу a2 + (a + b)2 + (a + b + c)2 для дійсних чисел a, b, c, що задовольняють нерівність |a + 2b + 3c|  ³ 1.

 

6. В опуклому n – кутнику проведено всі діагоналі, жодні три з яких не проходять через одну точку. Скільки різних трикутників утворилося? Записати формулу відносно n, за якою можна підрахувати кількість утворених трикутників.