Білети усних іспитів з математики

1999 рік

Білет № 1

1. Формули площ паралелограма, трапеції, трикутника.

2. Знайти найбільше та найменше значення виразу , якщо .

3. Усі сторони квадрата зі стороною довжиною a дотикаються циліндра, вісь якого перпендикулярна діагоналі квадрата і утворює з його площиною кут a. Знайти радіус циліндра.

4. При яких значеннях параметра а система

має рівно 10 розв’язків ?

Білет № 2

1. Ознака паралельності площин.

2. Знайти x, коли відомо, що x, його ціла частина [x] та його дробова частина {x} утворюють геометричну прогресію.

3. При яких значеннях параметра а рівняння та рівносильні?

4. За допомогою циркуля та лінійки побудувати відрізок довжини , де а та b – довжини заданих відрізків.

Білет № 3

1. Похідна суми, добутку й частки двох функцій.

2. Розв’язати рівняння

3. Три хорди кола радіуса r утворюють вписаний в це коло трикутник. Дві хорди дорівнюють r/2 і . Знайти третю сторону.

4. Розв’язати нерівність

де а – параметр.

Білет № 4

1. Функції y = sin x ), y = cos x, y = tg x, їx означення, властивості, графіки.

2. Нехай a, b, g – плоскі кути довільного тригранного кута. Довести, що

3. Побудувати графік функції

4. Вказати найменше значення p, при якому нерівність

має принаймні один розв’язок, менший за 1.

Білет № 5

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Нехай Довести нерівність

3. Розв’язати рівняння

4. Квадрат ABCD із стороною довжини a лежить на площині. Точка FÎAB така, що AF= Відрізок DE довжиною a утворює з DA кут a та з DC – кут b. Знайти кут FDE.

Білет № 6

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. У трикутнику AВС, всі сторони якого різні, бісектриса кута A перетинає сторону ВС в точці D. Знайти AD, коли відомо, що AB – BD = a, AC + CD = b.

3. Знайти всі пари (a, b), для яких рівняння та рівносильні.

4. Знайти пари чисел (x, y), що задовольняють умову

Білет № 7

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

2. Розв’язати рівняння

3. Вказати кількість точок x, в яких дотичні до графіків функцій

та

паралельні.

4. Довести, що якщо середини сторін двох чотирикутників збігаються, то їх площі рівні.

Білет № 8

1. Коло, вписане в трикутник.

2. Розв’язати рівняння

3. Вказати рівняння прямої, що проходить через точку (–2; 0) та відтинає від фігури, заданої співвідношенням , трикутник площею 4/3.

4. Розв’язати рівняння

, де р – параметр.

Білет № 9

1. Ознаки паралельності прямих.

2. Розв’язати нерівність

3. До ріки, що має ширину a м, під прямим кутом збудовано канал шириною b м. Знайти найбільшу довжину колод, які можна сплавляти з каналу в ріку.

4. При яких значеннях параметра a рівняння

має рівно один корінь?

Білет № 10

1. Ознаки паралелограма.

2. Розв’язати систему

3. Довжина ребра куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналлю куба та мимобіжною з нею діагоналлю грані куба.

4. Для яких значень a рівняння

=sin 2a +cos 3a

має єдиний розв’язок? Знайти цей розв’язок.

2000 рік

Білет № 1

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати систему

3. При яких значеннях параметра а рівняння

має розв’язки?

4. Побудувати коло, яке проходить через дві задані точки і дотикається даного кола.

Білет № 2

1. Властивості рівнобедреного трикутника.

2. Розв’язати систему

3. При всіх значеннях параметра а розв’язати рівняння

4. Побудувати трикутник ABC, якщо відома висота h_a, радіус вписаного трикутник кола і різниця сторін AC – AB.

Білет № 3

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. Розв’язати систему

3. Розв’язати рівняння

4. Побудувати трикутник за кутом і радіусами вписаного та описаного кіл.

Білет № 4

1. Перпендикулярність прямих і площин.

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти максимальне та мінімальне значення функції

4. Провести спільну дотичну до двох даних кіл.

Білет № 5

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

рівносильні.

4. Побудувати трикутник за периметром, однією з висот і радіусом вписаного кола.

Білет № 6

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

рівносильні.

4. Знайти множину точок площини, сума квадратів відстаней від яких до двох заданих точок площини дорівнює квадрату відстані до третьої заданої точки.

Білет № 7

1. Похідна суми, добутку й частки двох функцій.

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти всі значення a і b, при яких рівняння

має єдиний розв’язок. Знайти цей розв’язок.

4. Сторона основи правильної піраміди SABCD має довжину a, бічне ребро – довжину l. Побудувати переріз піраміди, перпендикулярний бічному ребру SC, та такий, що проходить через його середину. Знайти площу перерізу, якщо

Білет № 8

1. Паралельність прямих і площин.

2. Розв’язати систему рівнянь

3. Визначити кількість розв’язків рівняння на відрізку [0,p] залежно від значень параметра а .

4. Об’єм тетраедра дорівнює V. Всі вершини паралелепіпеда лежать на поверхні тетраедра, при цьому три грані паралелепіпеда належать трьом граням тетраедра. Знайти найбільш можливий об’єм такого паралелепіпеда.

2001 рік

Білет № 1

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. При яких значеннях параметра b система

має рівно три розв’язки?

3. Знайти синус кута між мимобіжними висотами двох граней правильного тетраедра.

Білет № 2

1. Паралельність прямих і площин.

2. Довжини двох сторін трикутника дорівнюють 10 та 15. Довести, що довжина бісектриси кута між ними не більша 12.

3. Розв’язати нерівність .

Білет № 3

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Нехай для сторін трикутника ABC виконується рівність BC + AC = 3AB. Довести, що .

3. Знайти всі значення параметра a, при яких рівняння

має два розв’язки.

Білет № 4

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати рівняння

3. У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = AC) кут при вершині A дорівнює p/6. На стороні AC обрано точку D таку, що BC = . Знайти ÐDBC.

Білет № 5

1. Функція , її властивості, графік.

2. При яких значеннях параметра а рівняння

має 2 розв’язки; має 1 розв’язок; не має розв’язків?

3. В трикутнику ABC на стороні AB обрано точки M і N так, що AM : MN : NB = 2 : 5 : 3, а на стороні AC обрано точки P і Q так, що AP : PQ : QC = 3 : 6 : Нехай , , . Знайти площу чотирикутника DEKL, якщо площа трикутника ABC дорівнює 10.

Білет № 6

1. Властивості рівнобедреного трикутника.

2. Для перевезення вантажу вагою від 150 т до 180 т використали декілька однаково завантажених машин. Після того як 5 з них зламалися, їх вантаж перевантажили на решту машин по 2 т на кожну. Скільки всього було вантажу?

3. В одиничне коло вписано опуклий п’ятикутник, який складається із прямокутника зі сторонами a і b (a £ b) і рівнобедреного трикутника з основою a. Серед усіх таких п’ятикутників знайти п’ятикутник найбільшої площі.

Білет № 7

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. При яких значеннях параметра а рівняння

не має розв’язків?

3. В коло одиничного радіуса вписано опуклий шестикутник, який складається з прямокутника зі сторонами а і b (a £ b) і двох рівнобедрених трикутників, що мають основами сторони b прямокутника. Серед усіх таких шестикутників знайти той, площа якого найбільша.

Білет № 8

1. Перпендикулярність прямих і площин.

2. Знайти всі раціональні значення параметра а, при яких функції

мають однакові періоди.

3. Знайти висоту циліндра найбільшого об’єму, вписаного в заданий конус з висотою H і радіусом основи R (основа циліндра лежить на основі конуса).

2002 рік

Білет № 1

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. Знайти всі значення а, при яких рівняння

має три різні корені. Знайти ці корені.

3. В коло радіуса 1 вписано квадрат, в нього – коло, в коло – правильний 8-кутник, в нього – коло, в коло – правильний 16-кутник і т.д. Довести, що радіуси всіх цих кіл більші, ніж 2/p.

Білет № 2

1. Паралельність прямих і площин.

2. Знайти всі значення а, при яких існує тільки одне значення х, що задовольняє систему рівнянь

3. Медіани трикутника дорівнюють відповідно 3, 4, 5. Який це трикутник: гострокутний, прямокутний чи тупокутний?

Білет № 3

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння

має більше від’ємних коренів, ніж додатних.

3. В коло вписано чотирикутник ABCD, діагоналі якого перетинаються у точці M. Через середину S сторони CD проведено пряму SM так, що прямі AB та SM перетинаються в точці K. Довести, що .

Білет № 4

1. Функція , її властивості, графік.

2. Знайти всі значення а, для яких нерівність

виконується для довільного дійсного х.

3. Вершина правильної шестикутної піраміди є центром сфери, яка дотикається площини основи піраміди. Відношення площі бічної поверхні піраміди до площі поверхні сфери дорівнює a. Визначити кут нахилу бічного ребра піраміди до площини основи. Знайти допустимі значення для a.

Білет № 5

1. Перпендикулярність двох площин.

2. Знайти найбільше значення виразу , якщо

3. Знайти трикутник найбільшої площі, який можна вписати у правильний шестикутник площі 6S.

Білет № 6

1. Похідна суми, добутку й частки двох функцій.

2. Знайти всі дійсні числа а такі, що для довільного дійсного х виконується рівність

(–ціла частина ).

3. В трикутнику, один з кутів якого дорівнює різниці двох інших, довжина меншої сторони дорівнює 1, а сума площ квадратів, побудованих на двох інших сторонах, в два рази більша площі описаного навколо трикутника круга. Знайти довжину більшої сторони трикутника.

Білет № 7

1. Сума кутів трикутника. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника.

2. Знайти всі значення , для яких нерівність

має не менше чотирьох різних розв’язків, що є цілими числами.

3. В трапеції довжина середньої лінії дорівнює 4, а кути при одній з основ мають величини 40° і 50°. Знайти довжини основ трапеції, якщо довжина відрізка, що з’єднує середини цих основ, дорівнює 1.

Білет № 8

1. Функція , її властивості, графік.

2. Знайти значення параметрів a, b, c, при яких рівняння

має нескінченно багато розв’язків.

3. В гострокутному трикутнику ABC з вершин A і C опущено висоти AP і CQ на сторони BC і AB. Відомо, що площа трикутника ABC дорівнює 18, площа трикутника BPQ дорівнює 2, а довжина відрізка PQ – 2. Обчислити радіус кола, описаного навколо трикутника ABC .

Білет № 9

1. Теорема про перпендикулярність прямої й площини.

2. Знайти всі значення а, при яких рівняння

має три різні корені. Знайти ці корені.

3. Середини трьох висот трикутника належать одній прямій. Чи може такий трикутник мати тупий кут?

Білет № 10

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

2. Розв’язати систему нерівностей

3. Дійсні числа належать відрізку , при цьому сума кубів цих чисел дорівнює 0. Довести, що .

Білет № 11

1. Ознаки паралелограма.

2. Розв’язати рівняння

3. В конус вписано кулю. Відношення площі кулі до площі повної поверхні конуса дорівнює m. Знайти кут між твірною та площиною основи конуса, вказати допустимі значення m. Яке найбільше можливе значення m?

Білет № 12

1. Формула коренів квадратного рівняння.

2. Розв’язати в цілих числах рівняння

3. Серед усіх конусів, описаних навколо даної кулі, знайти той, який має найменший об’єм.

Білет № 13

1. Залежність між тригонометричними функціями одного й того ж аргументу.

2. При яких значеннях параметра а рівняння

має рівно шість розв’язків?

3. Чи можна побудувати на площині такий правильний трикутник, щоб усі три його вершини мали цілі координати?

Білет № 14

1. Ознака паралельності площин.

2. При кожному значенні параметра а розв’язати рівняння

3. Довести, що серед усіх n-кутників, описаних навколо даного кола, найменший периметр має правильний n-кутник.

Білет № 15

1. Функція , її властивості, графік.

2. Визначити, для яких дійсних значень параметра а всі розв’язки нерівності є одночасно розв’язками нерівності

3. В коло вписано чотирикутник ABCD, діагоналі якого взаємно перпендикулярні та перетинаються в точці E. Пряма, що проходить через точку E і перпендикулярна AB, перетинає сторону CD в точці M. Довести, що EM – медіана трикутника CED і знайти її довжину, якщо , і .

Білет № 16

1. Коло, описане навколо трикутника.

2. Для натуральних n > 2 довести нерівність .

3. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, дорівнює 10 см. Довести, що з цього трикутника можна вирізати круг площею 50 см².

Білет № 17

1. Формули зведення.

2. Розв’язати рівняння .

3. Через вершину правильного тетраедра з ребром а проведено площину так, що лінія її перетину з площиною основи паралельна стороні основи і ділить основу на дві рівновеликі частини. Знайти площу перерізу тетраедра вказаною площиною.

Білет № 18

1. Ознаки паралельності прямої й площини.

2. При яких значеннях параметра а рівняння

не має розв’язків?

3. Довжини сторін трикутника a, b, c – цілі числа. Довжина однієї з його висот дорівнює сумі довжин двох інших висот. Довести, що є квадратом цілого числа.

Білет № 19

1. Формула відстані між двома точками площини. Рівняння кола.

2. Довести нерівність

якщо a, b, c – дійсні числа.

3. Чи завжди знайдеться трикутник, довжини сторін якого дорівнюють довжинам медіан заданого трикутника?

Білет № 20

1. Коло, вписане в трикутник.

2. Знайти всі значення параметра а, при яких найменше значення функції на відрізку [0, 1] дорівнює найбільшому її значенню на відрізку [1, 3] .

3. У трикутнику ABC величина кута BAC дорівнює p/3, довжина висоти, опущеної з вершини C на сторону AB, дорівнює , а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 5. Знайти довжини сторін трикутника ABC.

Білет № 21

1. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

2. Знайти всі значення а, при яких рівняння

має в точності два різних кореня.

3. Задано коло радіуса R, O – його центр, AB – діаметр, точка M – на радіусі OA, при цьому . Через M проведено довільну хорду CD. Чому дорівнює найбільше значення площі чотирикутника ACBD?

Білет № 22

1. Формула площ паралелограма, трикутника, трапеції.

2. Знайти всі значення а, при яких рівняння

має не менше чотирьох різних цілих розв’язків.

3. Довести, що коли в трикутнику ABC кут B тупий та , то кут C більший, ніж половина кута A.

Білет № 23

1. Корені рівнянь

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти множину точок M таких, що відношення довжин дотичних, проведених з точки M до двох заданих кіл, дорівнює постійній величині k.

Білет № 24

1. Дотична до кола та її властивість.

2. При яких дійсних значеннях параметра а корені рівняння

різні та належать проміжку (–1, 2)?

3. Дві прямі ділять кожну з двох протилежних сторін опуклого чотирикутника на три однакові частини. Довести, що між цими прямими міститься третина площі чотирикутника.

Білет № 25

1. Властивості числових нерівностей.

2. Розв’язати рівняння

3. У трикутнику ABC на сторонах AB та AC обираються точки M та N відповідно так, що , . Довести, що при всіх натуральних n пряма MN проходить через одну і ту саму точку, та знайти її.

Білет № 26

1. Теорема Піфагора.

2. Розв’язати рівняння

де a – параметр.

3. Відомо, що деяка пряма, паралельна основам прямокутної трапеції, розбиває її на дві трапеції, в кожну з яких можна вписати коло. Визначити довжини основ вихідної трапеції, якщо довжини її бокових сторін дорівнюють с та d (d > c).

Білет № 27

1. Функції , їх означення, властивості, графіки.

2. Довести, що коли a, b та c – довжини сторін трикутника, то

3. Побудувати трикутник за медіаною і висотою, проведеними з однієї вершини, та радіусом описаного кола.

Білет № 28

1. Вимірювання кута, вписаного в коло.

2. Розв’язати рівняння

3. У гострокутному трикутнику ABC проведено медіану AM, висоту AH та бісектрису AN. Відомо, що , та . Знайти довжину відрізка AO, де O – точка перетину висот трикутника ABC.

Білет № 29

1. Логарифм добутку, степеня, частки.

2. Розв’язати рівняння

3. На площині задано точок. Нехай l – найбільша з відстаней між парами цих точок. Довести, що знайдеться не більше, ніж n пар точок, відстань між якими дорівнює l.

Білет № 30

1. Ознаки подібності трикутників.

2. Розв’язати рівняння відносно х

де а – параметр.

3. Чи можна зі сторін опуклого багатокутника периметра P скласти два відрізки (шляхом приєднання сторін багатокутника одна до одної), довжини яких відрізняються не більше, ніж на ?

2003 рік

Білет № 1

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. Користуючись рівностями , довести, що

3. У трикутник ABC вписано ромб BDEF так, що всі його вершини лежать на сторонах трикутника ABC. Знайти площу трикутника ABC, якщо AE = 3, CE = 7, а кут a при вершині ромба E тупий.

Білет № 2

1. Паралельність прямих і площин.

2. Розв’язати рівняння

3. Два кути трикутника дорівнюють a і b. Знайти кут між медіаною та висотою, проведеними з вершини третього кута.

Білет № 3

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Розв’язати нерівність

3. Знайти найбільше значення виразу

якщо .

Білет № 4

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати систему рівнянь

3. При яких значеннях параметра а рівняння

має точно два корені?

Білет № 5

1. Перпендикулярність двох площин.

2. Розв’язати рівняння

3. При яких значеннях параметра а фігура, що задається рівнянням

має найменший периметр?

Білет № 6

1. Похідна суми, добутку й частки двох функцій.

2. Розв’язати нерівність

3. У даному колі провести діаметр так, щоб його було видно з даної точки поза колом під заданим кутом.

Білет № 7

1. Сума кутів трикутника. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника.

2. Розв’язати рівняння

3. При яких значеннях параметра b рівняння

має при будь якому a єдиний корінь?

Білет № 8

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати нерівність

3. При яких значеннях параметра а фігура, що задається рівнянням

має найбільший периметр?

Білет № 9

1. Теорема про перпендикулярність прямої й площини.

2. Довести рівність

3. Розв’язати рівняння

, де а – параметр.

Білет № 10

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти найбільше значення параметра а, при якому нерівність

має принаймні один розв’язок.

Білет № 11

1. Ознаки паралелограма.

2. При якому значенні параметра а сума квадратів коренів рівняння

буде найменшою?

3. У паралелограмі зі сторонами а і b кут між діагоналями дорівнює a. Знайти кут між сторонами.

Білет № 12

1. Формула коренів квадратного рівняння.

2. Розв’язати нерівність

3. Два кути гострокутного трикутника дорівнюють a і b. Знайти кути трикутника, вершини якого збігаються з основами висот даного трикутника.

Білет № 13

1. Залежність між тригонометричними функціями одного й того ж аргументу.

2. Розв’язати нерівність

3. На координатній площині зобразити множину точок (x, y), що задовольняють нерівність

Білет № 14

1. Ознака паралельності площин.

2. Розв’язати нерівність

3. При яких значеннях параметра а рівняння

має: а) два корені різних знаків;

б) два додатних корені?

Білет № 15

1. Функція , її властивості, графік.

2. Довести нерівність , де a, b – довжини катетів, c – довжина гіпотенузи прямокутного трикутника.

3. Для всіх значень параметра розв’язати нерівність

Білет № 16

1. Коло, описане навколо трикутника.

2. Розв’язати рівняння .

3. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 4. Знайти добуток довжин його сторін за умови, що об’єм тіла, що утворюється при обертанні цього трикутника навколо основи, є найбільшим.

Білет № 17

1. Формули зведення.

2. Розв’язати нерівність

3. Усередині трикутника ABC обрано точку P. Прямі AP, BP та CP перетинають сторони BC, AC та AB відповідно в точках N, K та M. Відомо, що та . Знайти площу трикутника ABC, якщо площа трикутника APK дорівнює S.

Білет № 18

1. Ознака паралельності прямої й площини.

2. Знайти найбільше значення функції

3. Розв’язати нерівність

Білет № 19

1. Формула відстані між двома точками площини. Рівняння кола.

2. Розв’язати рівняння

3. При якому найбільшому значенні параметра a нерівність

виконується для всіх ?

Білет № 20

1. Коло, вписане в трикутник.

2. Побудувати графік функції

3. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння

має три корені.

Білет № 21

1. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

2. При яких значеннях параметра а система рівнянь

має точно три розв’язки?

3. Два кола радіусів R і r дотикаються зовнішнім чином. Знайти радіус кола, вписаного в криволінійний трикутник, утворений колами та їх спільною дотичною.

Білет № 22

1. Формули площ паралелограма, трикутника, трапеції.

2. Яке з двох чисел більше: чи ?

3. Розв’язати нерівність

, де а – параметр.

Білет № 23

1. Корені рівнянь .

2. При яких значеннях параметра а система рівнянь

має єдиний розв’язок?

3. Довести, що для будь-якого трикутника зі сторонами довжини a, b та c виконується нерівність

Білет № 24

1. Дотична до кола та її властивість.

2. При яких значеннях параметра а рівняння має точно два корені?

3. Знайти всі цілі розв’язки рівняння

Білет № 25

1. Властивості числових нерівностей.

2. Розв’язати систему рівнянь

3. Розв’язати рівняння

Білет № 26

1. Теорема Піфагора.

2. Яке з двох чисел більше: чи ?

3. Розв’язати систему рівнянь

Білет № 27

1. Функції , їх означення, властивості, графіки.

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати нерівність

Білет № 28

1. Вимірювання кута, вписаного в коло.

2. При яких значеннях параметра а система рівнянь

має розв’язки?

3. Розв’язати рівняння

, де а – параметр.

Білет № 29

1. Логарифм добутку, степеня й частки.

2. Розв’язати рівняння

3. Знайти всі значення параметра а, при яких має розв’язки рівняння

Білет № 30

1. Ознаки подібності трикутників.

2. Знайти всі значення параметра а, при яких нерівність

виконується при всіх .

3. Знайти найменше значення функції

Білет № 31

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. Розв’язати систему рівнянь:

3. Знайти бісектриси трикутника, що має сторони 5, 6, 7.

Білет № 32

1. Паралельність прямих і площин.

2. При яких значеннях параметра а система рівнянь

має: а) один розв’язок; б) два розв’язки; в) три розв’язки?

3. Знайти медіани трикутника, що має сторони 7, 8, 9.

Білет № 33

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Розв’язати систему рівнянь:

3. Знайти висоти трикутника, що має сторони 8, 9, 10.

Білет № 34

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати систему рівнянь

3. Довжини основ трапеції дорівнюють 3 і 4. Знайти довжину відрізка, паралельного основам трапеції, що ділить її площу навпіл.

Білет № 35

1. Перпендикулярність двох площин.

2. При всіх значеннях параметра а розв’язати систему нерівностей

3. Довжини основ трапеції дорівнюють 4 і 6. Знайти довжину відрізка, паралельного основам трапеції, що проходить через точку перетину діагоналей трапеції.

Білет № 36

1. Похідна суми, добутку й частки двох функцій.

2. При всіх значеннях параметра а розв’язати рівняння

3. Довжини двох сторін трикутника дорівнюють 10 та 15. В яких межах може змінюватись довжина бісектриси трикутника, розташована між цими сторонами?

Білет № 37

1. Сума кутів трикутника. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника.

2. Розв’язати рівняння

3. В прямокутному трикутнику з катетами а, b та гіпотенузою c знайти радіус кола, що дотикається гіпотенузи та продовжень катетів.

Білет № 38

1. Функція , її властивості, графік.

2. Знайти рівняння спільної дотичної до графіків функцій

, , при .

3. Довжини двох сторін трикутника дорівнюють 8 та 15. В яких межах може змінюватись довжина висоти трикутника, розташована між цими сторонами?

Білет № 39

1. Теорема про перпендикулярність прямої й площини.

2. Розв’язати рівняння .

3. Довжини двох сторін трикутника дорівнюють 10 та 12. В яких межах може змінюватись довжина медіани трикутника, розташована між цими сторонами?

Білет № 40

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

2. Розв’язати в цілих числах рівняння .

3. Побудувати трикутник за трьома медіанами.

Білет № 41

1. Ознаки паралелограма.

2. Розв’язати рівняння

3. Побудувати трикутник за трьома висотами.

Білет № 42

1. Формула коренів квадратного рівняння.

2. При яких значеннях параметра а рівняння

має не більше одного розв’язку на проміжку .

3. Побудувати трикутник ABC, у якого задана сторона BC = a, кут та висота .

Білет № 43

1. Залежність між тригонометричними функціями одного й того ж аргументу.

2. До графіка функції проведено дотичну в точці з абсцисою t Î [0; 1], що відтинає від координатних прямих деякий трикутник. При якому значенні t площа цього трикутника буде найменшою?

3. Площа основи прямої трикутної призми дорівнює 4, а площі бічних граней дорівнюють відповідно 9, 10 та 17. Знайти об’єм призми.

Білет № 44

1. Ознака паралельності площин.

2. Знайти останній член арифметичної прогресії цілих чисел з різницею 11, сума членів якої дорівнює 44. Знайти усі можливі розв’язки.

3. Задано кут ÐBAC та точку M усередині цього кута. Побудувати коло, що дотикається сторін кута та проходить через точку M.

Білет № 45

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати систему рівнянь:

3. Довжини двох сторін трикутника дорівнюють 10 та 12. В яких межах може змінюватися периметр трикутника?

Білет № 46

1. Коло, описане навколо трикутника.

2. При яких значеннях параметра а всі корені рівняння

додатні?

3. В рівнобедреному трикутнику ABC кут при вершині A дорівнює 30°, а радіус описаного кола дорівнює R. Знайти радіус кола, що дотикається

1) прямих, на яких розташовані основа трикутника та медіана, що проведена до бічної сторони,

2) описаного кола внутрішнім чином.

Білет № 47

1. Формули зведення.

2. При яких значеннях параметра а всі корені рівняння

належать проміжку (–1, 1)?

3. Побудувати за допомогою циркуля та лінійки прямокутну трапецію, довжини основ якої дорівнюють 7см та 10см, а різниця довжин бічних сторін дорівнює 6см.

Білет № 48

1. Ознаки паралельності прямої й площини.

2. При яких значеннях параметра а нерівність

виконується для всіх х з проміжку (0, 2)?

3. На ребрах правильної трикутної піраміди SABC з вершиною в точці S задані точки M Î SA, N Î SB, K Î SC так, що SM : MA = 3 : 1, SN = NB, SK : KC = 1 : 3. Площина MKN перетинає висоту SH піраміди в точці L. Знайти відношення SL : LH.

Білет № 49

1. Формула відстані між двома точками площини. Рівняння кола.

2. Розв’язати нерівність:

3. В кут величиною 60° з вершиною в точці M вписано коло, центр якого розташований на відстані 20 від точки M. На цьому колі на відстані 17 від вершини кута M вибрано точку P. Через цю точку проведено пряму, що відрізає від кута трикутник мінімально можливої площі. Знайти площу цього трикутника.

Білет № 50

1. Коло, вписане в трикутник.

2. Розв’язати рівняння:

3. Через точку всередині трикутника ABC проведено дві прямі, що паралельні сторонам AB та BC трикутника. Вони відрізають від трикутника ABC трикутники площею S₁ та S₂ відповідно. Чому дорівнює площа трикутника ABC, якщо площа трикутника, обмеженого цими прямими та третьою стороною трикутника, дорівнює S₃?

Білет № 51

1. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

2. Розв’язати рівняння

3. Два кола радіусів R та r дотикаються зовні одне одного. Пряма l перетинає більше коло в точках A і B, менше коло в точках C і D (точки A, B, C, D розташовані поспіль на прямій l). Відомо, що DC = 2a, CB = a, BA = 2a. Знайти довжину відрізка CB.

Білет № 52

1. Формула площ паралелограма, трикутника, трапеції.

2. Розв’язати рівняння .

3. На відрізку AB = 10 задано точку C таку, що AC = 6 , CB = 4 . На відрізках BC, AC як на діаметрах побудовані півкола по один бік від прямої AB та до цих півкіл побудована зовнішня дотична l. Знайти радіус кола, що дотикається двох побудованих півкіл, а також прямої l.

Білет № 53

1. Корені рівнянь

2. Розв’язати нерівність

3. На площині задано кут ÐABC = 60°. Усередині цього кута задано точку M, що знаходиться на відстанях /4 та 3/4 від сторін кута. Через цю точку проведено пряму, що відрізає від кута трикутник з периметром 6. Знайти площу цього трикутника.

Білет № 54

1. Дотична до кола та її властивість.

2. Розв’язати нерівність

3. Задано квадрат ABCD зі стороною AB = 1. На промені BC вибрано точку M таку, що MB = 3, а на промені AD вибрано точку K таку, що AK = t + 1. Відрізки AM та BK перетинаються в точці N, а відрізки DM та CK перетинаються в точці L. При якому значенні параметра t сумарна площа трикутників KNL та NML максимальна.

Білет № 55

1. Властивості числових нерівностей.

2. Розв’язати рівняння

3. Розв’язати рівняння 3^x + 15^x = 18^x.

Білет № 56

1. Теорема Піфагора.

2. Розв’язати нерівність:

3. В трикутнику ABC на стороні AC задано точку D та проведено відрізок BD так, що AD = 3, DC = 5, BD = 6. Кола, вписані в трикутники ABD та BDC, дотикаються одне одного на відрізку BD. Знайти радіуси цих кіл.

Білет № 57

1. Функції , їх означення, властивості, графіки.

2. Розв’язати нерівність:

3. На відрізку AB = 4 задано точку C таку, що AC : CB = 3:1. Побудовано три кола радіусів 4 з центрами в точках A, B, C. Знайти радіуси кіл, що одночасно дотикаються усіх трьох побудованих кіл.

Білет № 58

1. Вимірювання кута, вписаного в коло.

2. Розв’язати рівняння

3. Із точки M кола проведено три хорди MN = 2, MP = 7, MQ = 3 так, що ÐNMP = ÐPMQ . Знайти радіус кола.

Білет № 59

1. Логарифм добутку, степеня, частки.

2. Розв’язати рівняння

3. У трикутника OAB точка O має декартові координати (0, 0), точки A, B мають однакову абсцису . При цьому точка A розташована на графіку функції , а точка B – на графіку функції . При якому значенні параметра t площа трикутника OAB буде найменшою?

Білет № 60

1. Ознаки подібності трикутників.

2. Розв’язати рівняння

3. На одиничному колі з центром в точці О задано точки B і C так, що трикутник OBC правильний. У сегмент кола, що спирається на хорду BC, вписати прямокутник найбільшої площі, одна зі сторін якого розташована на хорді BC.

2004 рік

Білет № 1

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. В трикутнику ABC медіана перетинає описане навколо трикутника коло в точці . Відомо, що , та . Знайти площу трикутника ABC.

3. При яких значеннях параметра a система рівнянь

має точно а) 1 розв’язок; б) 2 розв’язки; в) 4 розв’язки?

Білет № 2

1. Паралельність прямих і площин.

2. Два села розташовані по різні боки річки, береги якої є паралельними прямими. В якому місці річки треба побудувати міст, перпендикулярний до берегів річки, таким чином, щоб довжина шляху з одного села до іншого була найменшою?

3. При яких значеннях параметра a рівняння

має точно 4 розв’язки на сегменті ?

Білет № 3

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Побудувати коло, що проходить через дві задані точки та дотикається заданої прямої.

3. Розв’язати рівняння

Білет № 4

1. Функція , її властивості, графік.

2. У трикутнику ABC задано сторону BC = a та кут ÐBAC = b. В яких межах може змінюватися довжина сторони AC цього трикутника?

3. При яких значеннях параметра a система рівнянь

має точно а) 1 розв’язок; б) 2 розв’язки; в) 6 розв’язків?

Білет № 5

1. Перпендикулярність двох площин.

2. Знайти найменше натуральне число, що збільшиться в разів при перестановці першої цифри в кінець числа.

3. Розв’язати нерівність:

Білет № 6

1. Похідна суми, добутку й частки двох функцій.

2. Побудувати трикутник за стороною та висотами .

3. Розв’язати рівняння:

Білет № 7

1. Сума кутів трикутника. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника.

2. Бісектриса AD трикутника ABC має довжину a. На цій бісектрисі як на діаметрі побудовано коло, що перетинає сторони AB та AC в точках k і L відповідно. Відомо, що , . Знайти площу трикутника ABC.

3. При всіх значеннях параметра a розв’язати систему рівнянь

Білет № 8

1. Функція , її властивості, графік.

2. Знайти найменше натуральне число, що збільшиться в рази при перестановці його першої цифри в кінець числа.

3. Розв’язати рівняння .

Білет № 9

1. Теорема про перпендикулярність прямої й площини.

2. На сторонах паралелограма вибрані відповідно точки таким чином, що , , , . Відрізки та перетинаються в точці . Знайти відношення .

3. Порівняти числа:

та .

Білет № 10

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

2. У трикутнику ABC задано сторону BC = a та кут ÐBAC = b. В яких межах може змінюватися довжина медіани AD цього трикутника?

3. Розв’язати систему рівнянь

Білет № 11

1. Ознаки паралелограма.

2 На декартовій площині задані точки . Знайти на прямій y = 2 точку M, для якої кут набуває максимального значення.

3. Розв’язати рівняння:

Білет № 12

1. Формула коренів квадратного рівняння.

2. Рівнобічна трапеція описана навколо кола одиничного радіуса. Відстань між точками дотику вписаного кола з бічними сторонами дорівнює . Знайти площу трапеції.

3. Розв’язати систему рівнянь

Білет № 13

1. Залежність між тригонометричними функціями одного й того ж аргументу.

2. У трикутнику ABC медіана ad перетинає описане навколо трикутника коло в точці E. Відомо, що , та . Знайти площу трикутника ABC.

3. При яких значеннях параметра a система рівнянь

має точно а) 1 розв’язок; б) 2 розв’язки; в) 4 розв’язки?

Білет № 14

1. Ознака паралельності площин.

2. У трикутнику ABC задано сторону BC = a та кут ÐBAC = b. В яких межах може змінюватися довжина висоти BH цього трикутника?

3. Знайти найменше натуральне число, що починається з цифри та зменшується в рази, якщо цю цифру переставити в кінець числа, не змінюючи порядок інших цифр.

Білет № 15

1. Функція y = ax + b, її властивості, графік.

2. Побудувати коло, що проходить через задану точку та дотикається двох заданих прямих.

3. Розв’язати рівняння

Білет № 16

1. Коло, описане навколо трикутника.

2. Довести, що сума медіан трикутника більше трьох чвертей периметра трикутника.

3. Розв’язати в цілих числах рівняння

Білет № 17

1. Формули зведення.

2. У трикутнику ABC задано сторону BC = a та кут ÐBAC = b. В яких межах може змінюватися довжина найбільшої сторони цього трикутника?

3. При яких значеннях параметра a система рівнянь

має точно а) 1 розв’язок; б) 2 розв’язки; в) 6 розв’язків?

Білет № 18

1. Ознака паралельності прямої й площини.

2. Знайти найменше натуральне число, що збільшиться в разів при перестановці першої цифри в кінець числа.

3. Розв’язати рівняння

Білет № 19

1. Формула відстані між двома точками площини. Рівняння кола.

2. Півострів являє собою гострий кут, всередині якого знаходиться дім лісника. Як ліснику вийти з дому, дістатися до одного берега півострову, далі до іншого та повернутися додому так, щоб він при цьому пройшов найкоротший шлях?

3. Розв’язати в натуральних числах рівняння .

Білет № 20

1. Коло, вписане в трикутник.

2. Бісектриса AD трикутника ABC має довжину a. На цій бісектрисі як на діаметрі побудовано коло, що перетинає сторони AB та AC в точках K та L відповідно. Відомо, що , . Знайти площу трикутника ABC.

3. При яких значення параметра a рівняння

має точно 2 розв’язки на сегменті ?

Білет № 21

1. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

2. Побудувати трикутник ABC за стороною AB та висотами CM та BN.

3. При всіх значеннях параметра a розв’язати систему рівнянь:

Білет № 22

1. Формули площ паралелограма, трикутника, трапеції.

2. Чи можна на всіх ребрах семикутної піраміди розставити стрілки таким чином, щоб сума всіх одержаних векторів дорівнювала нульовому вектору?

3. При всіх значеннях параметра a розв’язати рівняння

Білет № 23

1. Корені рівнянь

2. Знайти найменше натуральне число, що збільшиться в разів при перестановці першої цифри в кінець числа.

3. Розв’язати нерівність

Білет № 24

1. Дотична до кола та її властивість.

2. Всередині трикутника вибрано дві довільні точки. Довести, що відстань між ними не перевищує півпериметра трикутника.

3. Порівняти числа та .

Білет № 25

1. Властивості числових нерівностей.

2. На сторонах паралелограма вибрано відповідно точки таким чином, що , , , . Відрізки перетинаються в точці . Знайти відношення .

3. Розв’язати рівняння

Білет № 26

1. Теорема Піфагора.

2. На декартовій площині задано точки . Знайти на прямій точку M, для якої кут набуває максимального значення.

3. Розв’язати рівняння

Білет № 27

1. Функції , їх означення, властивості, графіки.

3. Розв’язати систему рівнянь

Білет № 28

1. Вимірювання кута, вписаного в коло.

2. Чи можна на усіх ребрах дев’ятикутної піраміди розставити стрілки таким чином, щоб сума усіх одержаних векторів дорівнювала нульовому вектору?

3. При всіх значеннях параметра a розв’язати рівняння

Білет № 29

1. Логарифм добутку, степеня й частки.

2. У трикутнику ABC задано сторону та кут . В яких межах може змінюватися довжина висоти AH цього трикутника?

3. Знайти найменше натуральне число, що починається з цифри та збільшується в рази, якщо цю цифру переставити в кінець числа, не змінюючи порядок інших цифр.

Білет № 30

1. Ознаки подібності трикутників.

2. У трикутнику ABC задано сторону та кут . В яких межах може змінюватися довжина медіани AD цього трикутника?

3. Розв’язати систему рівнянь

Білет № 31

1. Рівняння дотичної до графіка функції.

2. Розв’язати нерівність

3. Нехай a, b, g – кути трикутника. Якого найменшого значення може набувати сума ?

Білет № 32

1. Паралельність прямих і площин.

2. Розв’язати cистeму

3. Точки А, B, C, D розташовані на площині a. Знайти точку OÎa таку, що сума відстаней OА + OB + OC + OD мінімальна.

Білет № 33

1. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.

2. Розв’язати нерівність

3. В опуклому чотирикутнику ABCD точки E та F – відповідно середини сторін AB та CD. Довести, що середини відрізків AF, BF, CE та DE – вершини паралелограма.

Білет № 34

1. Функція , її властивості, графік.

2. Розв’язати cистeму рівнянь

3. В правильний трикутник зі стороною довжини а вписано прямокутний трикутник так, що його гіпотенуза паралельна тій стороні правильного трикутника, на якій розташована вершина прямого кута. При якій довжині гіпотенузи площа вписаного трикутника буде найбільшою?

Білет № 35

1. Перпендикулярність двох площин.

2. Побудувати трапецію за її сторонами.

3. Знайти корені рівняння

що належать відрізку .

Білет № 36

1. Похідна суми, добутку й частки двох функцій.

2. При яких значення параметра а система

має точно два розв’язки ?

3. Довести, що число cos12^o ірраціональне.

Білет № 37

1. Сума кутів трикутника. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника.

2. Розв’язати нерівність

3. Розв’язати систему рівнянь

Білет № 38

1. Функція , її властивості, графік.

2. При яких значеннях параметра а нерівність

|x-а|+x²£4x-3

має принаймні один розв’язок, менший за 2 ?

3. Знайти корені рівняння

що належать відрізку .

Білет № 39

1. Теорема про перпендикулярність прямої й площини.

2. Розв’язати нерівність

3. Нехай O – точка перетину діагоналей опуклого чотирикутника ABCD. Відомо, що периметри трикутників ABO, BCO, CDO та DAO рівні. Довести, що чотирикутник ABCD – ромб.

Білет № 40

1. Тригонометричні функції подвійного аргументу.

2. Розв’язати рівняння

, де – параметр.

3. Кола з центрами в точках та однаковими радіусами перетинаються в точці O. Нехай – інші точки перетину цих кіл. Довести, що трикутники та рівні.

Білет № 41

1. Ознаки паралелограма.

2. Розв’язати рівняння

(1+x+x²)×(1+x+…+x¹⁰) = (1+x+…+x⁶)².

3. В трапеції ABCD довжини бічних сторін AB та CD дорівнюють відповідно 8 та 10, довжина основи BC дорівнює 2. Знайти площу трапеції, якщо бісектриса кута ADC проходить через середину сторони AB.

Білет № 42

1. Формула коренів квадратного рівняння.

2. В трикутнику ABC відомі довжини сторін В якому квадранті знаходиться кут ?

3. Розв’язати в цілих числах рівняння

x³+y³= 2004.

Білет № 43

1. Залежність між тригонометричними функціями одного й того ж аргументу.

2. Якщо до чотирьох заданих чисел, що утворюють арифметичну прогресію, додати відповідно 5, 6, 9, 15, то отримаємо геометричну прогресію. Знайти задані числа.

3. У чотирикутнику з послідовними вершинами А, В, С, D виконується рівність sinА + sinС = sinВ + sinD. Довести, що цей чотирикутник – трапеція або паралелограм.

Білет № 44

1. Ознака паралельності площин.

2. Знайти всі трикутники, в яких довжини сторін задаються цілими числами та утворюють геометричну прогресію, а одна з сторін має довжину 16.

3. Нехай x,yÎ(0;p/2) та sin²(x)+sin²(y) = sin (x+y). Довести, що x+y = p/2.

Білет № 45

1. Функція y = ax + b, її властивості, графік.

2. Знайти всі трикутники, в яких довжини сторін задаються цілими числами та утворюють геометричну прогресію, а одна з сторін має довжину 12.

3. Розв’язати нерівність якщо x ¹ 0.

Білет № 46

1. Коло, описане навколо трикутника.

2. Через вершину прямого кругового конуса проводять усі можливі плоскі перерізи. Знайти серед них переріз максимальної площі.

3. Розв’язати рівняння

cos(12x) = 5sin(3x) + 9tg²(x) + ctg²(x).

Білет № 47

1. Формули зведення.

2. Довести, що для довільних дійсних чисел справджується нерівність

x²+ y²+ z²+ u²+ v²³ (x + y + z+ u)×v.

3. Знайти всі трикутники, в яких довжини сторін утворюють геометричну прогресію, а величини кутів утворюють арифметичну прогресію.

Білет № 48

1. Ознака паралельності прямої й площини.

2. В DABC проведено бісектриси AK i CL кутів BAC та ACB відповідно. Відомо, що AB:AC = 3:4, BC:AC = 5:7. Знайти відношення площі DABC до площі DALK.

3. Розв’язати систему

де [z] – ціла частина числа z.

Білет № 49

1. Формула відстані між двома точками площини. Рівняння кола.

2. При яких значеннях параметра а нерівність

| x + а | + x²+ 4x + 1£ 0

має принаймні один розв’язок, більший за –2 ?

3. Знайти всі цілі х, для яких

Білет № 50

1. Коло, вписане в трикутник.

2. В посудині міститься 100 літрів спирту міцністю 96^о. Скільки літрів чистого спирту залишиться в цій посудині, якщо з неї відливали 20 разів по 1 літру рідини і кожен раз доливали по 1 літру води ?

3. Нехай a, b, g – кути трикутника. Якого найбільшого значення може набувати добуток ?

Білет № 51

1. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

2. Серед розв’язків системи

знайти такий, для якого сума максимальна

3. Розв’язати рівняння

Білет № 52

1. Формули площ паралелограма, трикутника, трапеції.

2. Знайти величину кута між двома дотичними, проведеними з точки A(3;–5) до графіка функції y = x²+ x – 1.

3. Розв’язати систему

за умови, що x, y, z ³ 0.

Білет № 53

1. Корені рівнянь

2. Розв’язати рівняння

sin²(x) + sin(2x)×sin(4x) +…+ sin(nx)×sin(n²x) = 1.

3. Дано пряму l та дві точки A і B по різні боки від неї. Знайти нa l точку M, для якої величина |AM – BM| набуває максимального значення.

Білет № 54

1. Дотична до кола та її властивість.

2. Якщо до чотирьох заданих чисел, що утворюють геометричну прогресію, додати відповідно 4, 21, 29, 1, то отримаємо арифметичну прогресію. Знайти задані числа.

3. Зобразити на координатній площині множину точок, заданих умовою

Білет № 55

1. Властивості числових нерівностей.

2. Кут між медіанами прямокутного трикутника дорівнює a. Знайти гострі кути цього трикутника.

3. Визначити, чи ділиться число на 37.

Білет № 56

1. Теорема Піфагора.

2. На координатній площині задано вершини трикутника ABC A(–1; –2), B(2; 3), C(9; 4). Обчислити відстань між основами медіани та висоти, проведеними з вершини A.