З ЗАДАЧІ ЗАОЧНОГО ТУРУ ОЛІМПІАДИ КНУ 2010 р

ОЛІМПІАДА КИЇВСЬКОГО

НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА:

ФАКУЛЬТЕТ КІБЕРНЕТИКИ

В олімпіаді можуть брати участь учні випускних класів середніх шкіл, ліцеїв та гімназій України, які бажають вступити на факультет кібернетики.

Олімпіада проходитиме в два тури. Перший - заочний, другий - очний.

Переможці першого туру запрошуються до участі в другому турі.

Переможці другого туру університетської олімпіади при вступі користуються пільгами, що визначаються Приймальною комісією університету.

Усі учасники олімпіади повинні надіслати поштою або передати особисто до факультету кібернетики (проспект академіка Глушкова, 2, корпус 6, кімн.29) не пізніше 9 квітня 2010 року розв’язки задач першого туру у зошиті, а також 2 поштових конверти із маркою та своєю зворотною адресою. Анкета учасника наклеюється на обкладинку зошита.

АНКЕТА УЧАСНИКА ОЛІМПІАДИ

Прізвище _____________________________________

Ім’я _________________________________________

По-батькові ___________________________________

Область ______________________________________

Місто, село ___________________________________

Номер школи, клас ______________________________

Адреса школи, телефон _________________________

Домашня поштова адреса_________________________

Контактний телефон ____________________________

Електронна адреса (E-mail) ________________________

Зошити надсилаються за адресою:

01033, Київ-33,

Володимирська, 64,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

журі олімпіади 2010,

факультет кібернетики, кімн.29

телефон для довідок (044) 521-35-54

Олімпіада факультету кібернетики
Київського національного університету імені Тараса Шевченка 2010 року

Заочний тур

(МАТЕМАТИКА)

1. Неважко навести приклад трьох різних натуральних чисел, сума кубів яких дорівнює кубу натурального числа. Чи існують 2009 різних натуральних чисел та натуральне число b такі, що ?

2. Нехай 2a, 2b, 2g – кути трикутника. Встановіть:

а) яке найменше значення може приймати сума tga+tgb+tgg?

б) яке найбільше значення може приймати добуток tga×tgb×tgg?

3. В тетраедрі протилежні ребра попарно рівні а, b, c. Знайдіть відстані між ними.

4. Чи можна розфарбувати клітинки дошки розміром n´n у 2 кольори таким чином, щоб будь-які 4 клітини, що стоять на перетині довільних 2 різних стовпчиків та 2 різних рядків, не були пофарбовані в один колір, якщо:

а) n=4;

б) n=5?

5. Нехай x, y, z – цілі числа, які задовольняють рівність .

а) Доведіть, що число ху є повним квадратом.

б) Доведіть, що існує нескінченно багато трійок (x, y, z), які задовольняють цю рівність.

6. Нехай АВС – рівнобедрений трикутник з основою АВ, А’ – основа висоти, проведеної з вершини А. Доведіть: якщо то трикутник АВС – рівносторонній.

7. Знайдіть найменше трицифрове число, що має таку властивість: число, яке утричі більше за нього, має лише парні цифри в десятковому запису.

8. Чи існують опуклий 5-кутник А₁А₂А₃А₄А₅ та точка Х всередині цього 5-кутника такі, що виконуються умови ХА₁=А₃А₄, ХА₂=А₄А₅, ХА₃=А₅А₁, ХА₄=А₁А₂, ХА₅=А₂А₃?

9. Два пірати ділять купу діамантів загальною вагою S. Відомо, що найбільший з діамантів важить M. Вони ділять усю купу на дві менші купки вагою S₁ та S₂, де S₁£S₂, а потім жеребом вирішують, яка кому дістанеться. Доведіть, що:

а) S₁£ S–M;

б) пірати можуть таким чином поділити купу, щоб .

10. Чи буде число повним квадратом?

ЗАОЧНИЙ ТУР

(ІНФОРМАТИКА)

До кожної запропонованої задачі слід надати алгоритм розв’язку

та написати програму однією з мов програмування

1. Палиця. Петро має палицю завдовжки 64 сантиметри. Але йому потрібна палиця довжиною х сантиметри (x < 64). Петро бажає спочатку розламати вихідну палицю на декілька частин, а потім склеїти з них палицю довжиною х сантиметрів. Для розв’язку задачі Петро бажає скористатися наступним алгоритмом:

1. Петро сумує довжини усіх частинок палиці (спочатку є одна частина довжиною 64 сантиметри). Поки ця сума більша за х, Петро робить наступні дії:

· Петро обирає частинку найменшої довжини та ламає її навпіл;

· Якщо після викидання однієї із половинок сума частин що залишилися не стане меншою за х, то викидаємо її. Інакше обидві половинки залишаються у Петра;

2. Петро склеює усі частинки палиці що є в нього.

Обчислити кількість частинок, яке Петро буде склеювати на другому кроці алгоритму.

Вхід. Бажана довжина палиці х.

Вихід. Кількість частинок, яку Петро буде склеювати на другому кроці алгоритму.